Робот стартует из начальной точки в начальный момент и едет по полигону, поворачивая через каждую минуту на 90º направо или налево. За первую минуту он проехал 1 м, за вторую минуту – 2 м, и т.д. На каком наименьшем расстоянии от начальной точки он мог оказаться через 11 минут после старта? 1) 0 м
2) 1 м
3) 2 м
4) 7 м

Для решения этой задачи, давайте постепенно пройдемся по каждой минуте и посмотрим, как изменяется положение робота.

Пусть точка, из которой стартует робот, имеет координаты (0,0). После первой минуты движения робот оказывается в точке (1,0), так как он проехал 1 метр вправо.

После второй минуты движения робот оказывается либо в точке (2,0) (если повернул налево), либо в точке (1,1) (если повернул направо). Таким образом, на данный момент возможны два варианта положения робота.

Далее, после третьей минуты можно заметить, что робот может оказаться в трех возможных точках: (3,0), (2,1) или (1,2).

Аналогично, после четвертой минуты робот может оказаться в следующих точках: (4,0), (3,1), (2,2) или (1,3).

И так далее. Можно заметить, что после каждой минуты движения робот либо увеличивает оба координаты на единицу (если поворачивает влево), либо увеличивает одну координату на единицу и уменьшает другую координату на единицу (если поворачивает вправо).

Теперь рассмотрим, какие варианты положения робота возможны через 11 минут после старта.

Используем математическую индукцию для нахождения координат робота через 11 минут.

1) После 1 минуты: (1,0)
2) После 2 минут: (2,0) или (1,1)
3) После 3 минут: (3,0), (2,1) или (1,2)
4) После 4 минут: (4,0), (3,1), (2,2) или (1,3)
5) После 5 минут: (5,0), (4,1), (3,2), (2,3) или (1,4)
6) После 6 минут: (6,0), (5,1), (4,2), (3,3), (2,4) или (1,5)
7) После 7 минут: (7,0), (6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5) или (1,6)
8) После 8 минут: (8,0), (7,1), (6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6) или (1,7)
9) После 9 минут: (9,0), (8,1), (7,2), (6,3), (5,4), (4,5), (3,6), (2,7) или (1,8)
10) После 10 минут: (10,0), (9,1), (8,2), (7,3), (6,4), (5,5), (4,6), (3,7), (2,8) или (1,9)
11) После 11 минут: (11,0), (10,1), (9,2), (8,3), (7,4), (6,5), (5,6), (4,7), (3,8), (2,9) или (1,10)

Заметим, что наименьшее расстояние от начальной точки равно расстоянию до точки (0,11) или (11,0). В обоих случаях, мы можем переместиться до этой точки, сделав последовательность поворотов влево.

Итак, наименьшее расстояние от начальной точки, которое робот может пройти через 11 минут после старта, равно 11 метров.

Ответ: 4) 11 м.