Прямоугольник со стороной 10 и углом 60 градусов найти площадь

треугольнике ABC AC=CB=10см, угол A=30 градусов, BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см. Найти расстояние от K до AC 

Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН. 
Рассмотрим основание пирамиды - треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см). По теореме Пифагора найдем второй катет СМ: 
CM=sqrt(AC2-AM2) 
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3 
BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны: 
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС 
НВ/МС=АВ/АС 
НВ=МС*АВ/АС 
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3 
Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС). По теореме Пифагора найдем КН: 
KH2=KB2+HB2 
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)

1. XY = 1,5 ед.

2. а)  XY = 3 ед.  б)  XY = 0.

Объяснение:

1. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно

d = p - c, где  р - полупериметр, а "с" - сторона, противоположная вершине.

В нашем случае:

В треугольнике ABD полупериметр  

р = (АВ+ВD+AD)/2 = (14+BD)/2  =>

BX = p - AD = p - 9.  DX = p - AB = p - 5.  =>  

DX -BX = 4. (1)

В треугольнике BCD полупериметр  

р = (BC+CD+BD)/2 = (15+BD)/2  =>

BY = p - CD = p - 8.  DY = p - BC = p - 7.  =>  

DY -BY = 1. (2)

Тогда (1) - (2) = (DX-DY) + (BY-BX) = 3.

Но (DX-DY) = (BY-BX) = XY. Значит 2·XY = 3  =>  

XY = 1,5 ед.

2. a) Для треугольника АВD:  AB = 10 ед, BD = 4,5 ед.

В треугольнике ABD полупериметр  

р = (АВ+ВD+AD)/2  =>

AX = p - BD = p - 4,5.  DX = p - AB = p - 10.  =>  

AX -DX = 5,5. (1)

Для треугольника АCD:  AC = 16 ед,  CD = 4,5 ед.

В треугольнике ACD полупериметр   =>  

р = (АC+CD+AD)/2  =>

AY = p - CD = p -4,5.  DY = p - AC = p - 16.  =>  

AY -DY = 11,5. (2)

Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 6.

Но (AY-AX) = (DX-DY) = XY. Значит 2·XY = 6  =>  

XY = 3 ед.

б) Для треугольника АВС полупериметр  

р = (АВ+ВC+AC)/2 = 35/2 = 17,5  =>

BD = p - AC = 17,5 - 16 = 1,5.  CD = 17,5 - 10 =7,5.  Тогда

В треугольнике ABD =>

AX = p - BD = p -1,5.  DX = p - AB = p - 10.  =>  

AX -DX = 8,5. (1)

В треугольнике ACD =>

AY = p - CD = p -7,5.  DY = p - AC = p - 16.  =>  

AY -DY = 8,5. (2)

Тогда (2) - (1) = (AY-AX) + (DX-DY) = 0.   =>

XY = 0 ед.