1) Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны. 2) Докажите, что плоскости диагональных сечений AB1 C1 D и BA1 D1 C куба A…D1 перпендикулярны.
Объяснение:
1)Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы. Выберем для определенности плоскости ( А₁В₁С₁) и (ВВ₁С).
В₁С₁ -линия пересечения плоскостей ( А₁В₁С₁) и (ВВ₁С).
Д₁С₁ ⊥ В₁С₁ и СС₁⊥ В₁С₁ , т.к. все грани прямоугольного параллелепипеда -прямоугольники⇒ ( А₁В₁С₁) ⊥ (ВВ₁С).
2)Все грани куба-квадраты. Диагонали квадрата взаимно -перпендикулярны . МР ,линия пересечения граней (AB₁C₁D) и (BA₁D₁С) . Значит линейный угол данного двугранного ∠АМВ=90° ⇒данные плоскости перпендикулярны.
В кубе АА1ВВ1СС1ДД1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1 = 3:1, а точка N - середина ребра ВС. Найти косинус угла между прямыми: 1.MN и ДД1 2. MN и ВД 3. MN и В1Д 4. MN и А1С
Объяснение:
Введем прямоугольную систему координат.Пусть ребро куба 1.
Тогда координаты точек :
М(1 ;0;0,75) , N(0,5 ;1;0) , Д(0;0;0) ,Д₁(0;0; 1) , В(1;1;0) , В₁(1;1;1) , А₁(1;0;1) , С(0;1;0) .
Найдем координаты векторов
MN(-0,5 ;1; -0,75) , |MN|=√((-0,5)²+1²+(-0,75)²)=0,25√29 ;
ДД₁(0 ;0; 1) , |ДД₁|=√(0²+0²+1²)=1 ;
ВД (-1 ;-1; 0) , |MN|=√((-1)²+(-1)²+0 ²)=√2 ;
В₁Д (-1 ;-1; -1) , |MN|=√3 ;
А₁С(-1 ; 1; -1) , |MN|=√3 ;
Если а(х₁;у₁;z₁) b(х₁;у₁;z₁) ) , то cosα=
.
1) cos(MN ;ДД₁)=
,
2) cos(MN ;ВД)=
,
3)cos(MN ;В₁Д)=
,
4)cos(MN ;А₁С)=
,
