#NG! SNOTSIE
14. Даны три луча ОА, ОВ, ОС. Может ли один из трех лучей
проходить во внутренней области угла, образованного
двумя другими лучами, если ZAOB=120°, ZBOC=110°,
ZCOA= 130°?
а) может; б) не может; в) нет верного ответа.

Точка О2 - центр вписанной окружности в  тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. 
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. 
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и  в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. 
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.

ответ: 5√3см

Объяснение: Обозначим вершины треугольника А В С, угол в=120°, а высоту АН. Сумма углов треугольника составляет 180°, поэтому можно найти угол С.

Угол С=180-120-3=30°. ∆АВС равнобедренный поскольку угол А= углу С, поэтому АВ=ВС=10см. Используя теорему косинусов найдём  АС. АС²=АВ²+ВС²–2×АВ×ВС×cosB=

=10²+10²-2×10×10×cos120°=

=100+100-2×100×(-½)=200+100=300

AC=√300=√3×√100=10√3см

∆АСН. Он прямоугольный, где АН и СН катеты, а АС - гипотенуза. В прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Этим катетом является высота АН, поэтому АН=10√3÷2=5√3см