Знайдіть значення виразу: 3 сos 300 ctg 45º tg 30°.

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

Медианы треугольника пересекаются и делятся в точке пересечения 2:1, начиная от вершины, поэтому

NO=2\3*NE=2\3*15=10 cм

OP=1\3*MP=1\3*12=4 cм

По теореме Пифагора

NP=корень(NO^2-OP^2)=корень(10^2-4^2)=корень(84)=2*корень(21)

Площадь треугольника NPM равна 1\2*NP*MP=1\2*12*2*корень(21)=

12*корень(21)

Площадь треугольника NPO равна 1\2*NP*OP=1\2*2*корень(21)*4=

=4*корень(21)

Площадь треугольника MON равна разнице площадей треугольников NPM и NPO =12*корень(21)-4*корень(21)=8*корень(21)

Площадь треугольника MON равна 1\2*MO*2\3*ME*sin (MON)

Площадь треугольника MOE равна 1\2*MO*1\3*ME*sin (MOE)=

=1\2*MO*1\3*ME*sin (MOE)=1\2*Площадь треугольника MON=

1\2*8*корень(21)=4*корень(21)

ответ:4*корень(21)