Із точки А до площини альфа провели перпендикуляр АН та похилі АВ і АС,які утворюють із площиною відповідно кути 45 градусів і 60. Знайдіть відрізок Ав,якщо АС=4√3 см. З поясненням i малюнком

Из точки А к плоскости альфа провели перпендикуляр АН и наклонные АВ и АС, которые образуют с плоскостью соответственно углы 45 градусов и 60. Найдите отрезок АВ, если АС = 4√3 см.

С объяснением и рисунком.

Даны вершины пирамиды: А (2;0;4, В(0;3;7), С(0;0;6), S(4;3;5).

Находим координаты векторов:

АС = (-2; 0; 2), АS = (2; 3; 1).

Их векторное произведение равно: 0 + 4j - 6k - (-2j) - 6i =

= (-6; 6; -6). Модуль этого произведения равен √(36 + 36 + 36) = 6√3.

Площадь грани ACS равна:

S(ASC) = (1/2)*6√3 = 3√3 кв.ед.

Находим вектор АВ = (-2; 3; 3).

Объём пирамиды равен:

V = (1/6)*((AC x AS)*AB) = (1/6)*(12 + 18 - 18) = 12/6 = 2 куб.ед.  

Высота, опущенная на грань ACS, равна:

h(ASC) = (3V)/(S(ASC) = (3*2)/(3√3) = 2√3/3.

Пусть стороны прямоугольника a и b см, а расстояние от плоскости прямоугольника до точки К - c см

Тогда по теореме Пифагора для трёх прямоугольных треугольников:

1) Треугольник, содержащий короткую сторону прямоугольника и перпендикуляр к плоскости

a^2 + c^2 = 6^2

2) Треугольник, содержащий короткую сторону прямоугольника и перпендикуляр к плоскости

b^2 + c^2 = 7^2

3) Треугольник, содержащий диагональ прямоугольника и перпендикуляр к плоскости

a^2 + b^2 + c^2 = 9^2

Сложим первые два уравнения

a^2 + b^2 + 2*c^2 = 6^2 + 7^2

Вычтем отсюда третье уравнение

с^2 = 6^2 + 7^2 - 9^2 = 36 + 49 - 81 = 85 - 81 = 4

c = 2 см