Нарисуем равнобедренную трапецию с вписанной в нее окружностью. Опустим высоты из В и С. Эти высоты равны диаметру вписанной окружности и равны 15 см.
Обозначим вершины трапеции АВСД, а основания высот К и М.
Из треугольника АВК найдем по теореме Пифгора отрезок основания АК.
Он равен 8 см.
Отрезок МД равен ему и его длина тоже 8 см.
Известно, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.
ВС+АД=2*17=34 см
КМ=(34-2*8):2=9 см
ВС=КМ=9 см
АД=34-9=25 см
Ход решения второй задачи практически тот же.
Нужно найти отрезок основания, заключенный между вершиной А и основанием высоты, опущенной на сторону АД, а он равен половине боковой стороны, т.к. противолежит углу 30 градусов, и затем решаем точно так же, как первую.
Сумма оснований равна сумме боковых сторон.
В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а, проекция бокового ребра на основания даст половину диагонали квадрата = 12*cos60 = 6 см. Диагональ квадрата
равна 12 см, отсюда сторона квадрата а = 12/√2 см.
Площадь основания a² = 144/2 = 72 см²
Боковая поверхность пирамиды равна площади 4х граней (треугольников) основание которых а, а высота равна апофеме H.
Высота пирамиды находится по боковому ребру h = 12*sin60 = 12*√3/2= 6√3
H=√[(a/2)²+h²] = √[(12/√2)²+(6√3)²] = √(72+12)=√84
s=a*H/2 = 12/√2 * √84/2 = 6√42
Полная поверхность S = 72 + 24√42 ≈ 227,5 см²
