ДАМ 50 «Признаки равенства треугольников»:

К-3 Вариант 1.
1°. Треугольники АВС и РМК равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = 10 см, ∠С = 36°. Найдите соответствующие стороны и угол треугольника РМК.
2°. Отрезки AM и КР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что PM = КА (рис. 38).
3. Точки М и К являются соответственно серединами боковых сторон АС и ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ — основание). Докажите, что АК = ВМ.

К-3 Вариант 2.
1°. Треугольники BCD и АКЕ равны. Известно, что АК = 20 см, ∠К = 54°, ∠Е = 60°. Найдите соответствующие углы и сторону треугольника BCD.
2°. Отрезки АВ и CD равны и перпендикулярны отрезку BD. Докажите, что AD = СВ (рис. 39).
3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взяты точки Е и D, такие, что АЕ = CD. Докажите, что BE = BD.​

Добрый день! Давайте рассмотрим каждый вопрос по отдельности и найдем ответы на них.

Вопрос 1°: Треугольники АВС и РМК равны. Известно, что АВ = 5 см, ВС = 10 см, ∠С = 36°. Найдите соответствующие стороны и угол треугольника РМК.

Чтобы найти соответствующие стороны и угол треугольника РМК, воспользуемся признаками равенства треугольников.

По данному условию, треугольники АВС и РМК равны, а значит, у них соответственные стороны равны по длине, а соответственные углы равны.

Известно, что АВ = 5 см, ВС = 10 см и ∠С = 36°. Поэтому в треугольнике РМК соответствующие стороны будут:

РМ = АВ = 5 см (по признаку равенства сторон треугольников)
МК = ВС = 10 см (по признаку равенства сторон треугольников)

Также, у треугольника РМК будет соответствующий угол:

∠М = ∠С = 36° (по признаку равенства углов треугольников)

Итак, стороны треугольника РМК равны: РМ = 5 см, МК = 10 см, а угол ∠М = 36°.

Вопрос 2°: Отрезки AM и КР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что PM = КА (рис. 38).

Для доказательства равенства PM = КА воспользуемся признаками равенства треугольников.

По условию, точка О является серединой отрезков AM и КР. Это значит, что ОМ = ОК (так как О является серединой отрезка АМ) и ОК = ОР (так как О является серединой отрезка КР).

Теперь рассмотрим треугольники РМО и КАО. У них равные стороны ОМ = ОК и ОК = ОР. А значит, по признаку равенства треугольников сторона РМ будет равна стороне КА: РМ = КА.

Итак, доказано равенство PM = КА.

Вопрос 3°: Точки М и К являются соответственно серединами боковых сторон АС и ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ — основание). Докажите, что АК = ВМ.

Для доказательства равенства АК = ВМ воспользуемся признаками равенства треугольников.

По условию, точки М и К являются соответственно серединами боковых сторон АС и ВС треугольника АВС.

Таким образом, М будет серединой отрезка АС, а К - серединой отрезка ВС.

Значит, АМ = МК и КА = ВК (так как точки М и К являются серединами соответствующих сторон).

Теперь рассмотрим треугольник АКМ. У него две равные стороны: АМ = МК и по условию АК = ВК. Таким образом, у треугольника АКМ две равные стороны и угол между ними (угол ВКА) равен углу между одинаковыми сторонами АМ и МК в треугольнике АКМ.

По признаку равенства треугольников АКМ и ВКМ, сторона АК равна стороне ВМ: АК = ВМ.

Итак, доказано равенство АК = ВМ.

На данный момент ответы на вопросы из варианта 1° даны. Если у вас есть еще вопросы или требуется объяснение по каким-то другим задачам, буду рад помочь!