Пусть M — середина AB, а C′ — основание высоты, опущенной из точки C на сторону AB. Пусть E — середина отрезка CH, где H— ортоцентр треугольника ABС. Искомый угол равен удвоенному углу MEH, поскольку ∠MEН является вписанным углом, опирающимся на рассматриваемый в задаче отрезок. Пусть O— центр описанной окружности треугольника ABC. Поскольку CE=CH/2=OM, причем CE и OM параллельны, то четырехугольник OMECявляется параллелограммом. Отсюда следует, что ∠MEC′=∠OCН. Известно, что ∠OCH=|∠A−∠B|. Этот угол легко считается, если использовать тот факт, что ∠OCA=90∘−∠AOC/2=90∘−∠B=∠HCB, а также, что ∠C=180∘−∠A−∠В. Тогда искомый угол равен 80
а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС. Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ. Точки пресечения - это Д и Е. Примем длину отрезка АК за 1. Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3. Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1. Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию). По теореме косинусов Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ. КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов). Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти. Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД. Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле: АЕ ДЕ АД p 2p S = 1 0.8694729 0.5773503 1.2234116 2.446823135 0.25 haе hде hад 0.5 0.57506 0.86603
КЕ ДЕ КД p 2p S = 1.4142136 0.869473 1.154701 1.719194 3.43839 0.501492 hке hде hкд 0.7092 1.15356 0.86861. Отношение высот hде и hде - это косинус искомого угла: cos α = 0.57506 / 1.15356 = 0.498510913. ответ: α = 1.048916149 радиан = 60.09846842°.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
