2. Пусть – точка пересечения медиан остроугольного треугольника .
Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники
,, , равны, то треугольник – правильный.

Поскольку площади треугольников AMB, BMC и AMC равны (каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC), то из формулы S = pr следует, что равны и периметры этих треугольников (рис 1).

Допустим, что AB > BC. Тогда угол ADB — тупой (D — середина стороны AC). Поэтому AM > MC. Следовательно, периметр треугольника AMB больше периметра треугольника BMC, что невозможно.