Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер.
Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность.
Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! - нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.
Обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x.
Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес ти Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на
4*х - 3*х = х;
Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть
x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;
2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на
21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.)
Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть
18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;
высота, проведенная из угла 150 гр, отрезает от трапеции прямоугольный треугольник, в котором один из углов прямой, а второй равен 30 гр(при одной боковой стороне сумма углов у трапеции = 180, один угол =150 , соответственно второй=30).
найдем гипотенузу прямоугольного треуг, которая для трапеции будет являться боковой стороной. найди ее мы можем через синус угла=60 гр.
sin= противлежащий катет/ гипотенузу.
sin60=4/гипотенузу
гипотенуза неизвестна, остальное известно.выразим ее
гип=4/ sin60 = 4 / 
= 8/
в прямоуг треуг напротив угла 30 гр лежит катет, равнй половине гипотенузы,
значит второй катет равен 4/
S трапеции= (a+b)h/2
где а и b - основания трапеции
второе основание найдем через первое. если первое большее основание равно 12+4=16, то второе основание мы найдем опустив обе высоты с углов по 150 гр, они будут отсекать от основания по 4 см, значит меньшее основание = 16-(4*2)=8 см.
подставим
S=(8+16)* 4//2=48
