Если ВНИМАТЕЛЬНО посмотреть на треугольник SKB (постройте его! - это сечение пирамиды по боковому ребру BS и точке К, в нем лежит высота пирамиды), то мы увидим, что нам известно про это треугольник почти всё. Пусть О - проекция S на основание. По теореме синусов (!) находим ОВ = АС/(2*sin(60)) = 3 - это радиус описанной вокруг основания окружности.
Рассмотрим треугольник SKB ещё внимательнее :)) Проекция точки М на ВК отстоит от точки О на 1/4 ОВ.
Очень легко увидеть, что при этом она попадает точно в середину ВК. Я даже не стану тут вычислять - проверьте сами, уж сложить 1/4 от 2/3 с 1/3 и получить 1/2 сможет даже экономист :))) не каждый, конечно, но говорят, что среди академиков такие встречаются :)))
Это означает, что треугольник КМВ - равнобедренный, и угол МКВ = Ф (который и надо найти) равен углу SBO, который найти проще, чем набрать это текст.
ответ cos(Ф) = ОВ/SB = 3/5
Видимо, в основании лежит параллелограмм, надо было это написать :)
Диагональ D прямого параллелепипеда в прямоугольном тр-ке, образованном этой диагональю, диагональю основания d и боковым ребром c, является гипотенузой.
Заданы d1 = 12 и с = 5
По теореме Пифагора:
D1^2 = d1^2 + c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169
D1 = sqrt(169) = 13
Найдём вторую диагональ d2 параллелограмма, являющегося основанием параллелепипеда. Cтороны параллелограмма заданы а = 6 и b = 8.
Для этого используем теорему косинусов для обеих диагоналей d1 и d2
d1^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos (alfa)
d2^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos (alfa)
Если сложить эти уравнения, то получим
d1^2 + d2^2 = 2(a^2 + b^2)
d2^2 = 2(a^2 + b^2) - d1^2
d2^2 = 2(6^2 + 8^2) - 12^2 = 2(36 + 64) - 144 = 2 * 100 -144 = 200 - 144 = 56
Теперь мы можем найти и 2-ю диагональ параллелепипеда D2 так же, как нашли 1-ю, т.е по теореме Пифагора:
D2^2 = d2^2 + c^2 = 56 + 5^2 = 56 + 25 = 81
D2 = sqrt(81) = 9
ответ: Диагонали параллелепипеда равны 13см и 9 см.
