S = 51,52 см²
P = 31,6 см.
S = a*b,
P = a+b+a+b = 2*(a+b),
a+b = P/2,
b = (P/2) - a,
S = a*b = a*( (P/2) - a ),
2S = a*( P - 2a) = a*P - 2*a²,
2a² - P*a + 2S = 0,
Подставим в последнее выражение значения для P и S, и решим квадратное уравнение относительно a.
2a² - 31,6*a + 2*51,52 = 0,
2a² - 31,6*a + 103,04 = 0,
D = 31,6² - 4*2*103,04 = 998,56 - 824,32 = 174,24 = 13,2²
a = (31,6 ± 13,2)/4
a₁ = (31,6 - 13,2)/4 = 18,4/4 = 4,6 см,
a₂ = (31,6 + 13,2)/4 = 44,8/4 = 11,2 см,
b₁ = (P/2) - a₁ = (31,6/2) - 4,6 = 15,8 - 4,6 = 11,2 см,
b₂ = (P/2) - a₂ = (31,6/2) - 11,2 = 15,8 - 11,2 = 4,6 см.
ответ. 4,6 см и 11,2 см.
Так как в условии не указано, пересекаются ли биссектрисы, у задачи два варианта решения и, соответственно, есть два варианта ответов.
Вариант 1)
Биссектрисы не пересекаются. По условию ВF=FE=EC
Угол ВFA=углу FАD - накрестлежащие.
Угол FАD=FАВ по условию. ⇒
Углы при основании АF треугольника АВF равны,
∆ АВF равнобедренный, АВ=ВF. Аналогично доказывается СD=CE.
Примем 1/3 ВС=а
Тогда АВ=CD=a, BC=AD=3a
ВС=24 см ⇒
3a=24 см
a=8 см ⇒
AB=CD=8см
BC=AD=24 см
Р=2•(8+24)=64 см
Вариант 2)
Биссектрисы пересекаются. По условию ВF=FE=EC
Как в первом варианте, ∆ АВЕ и ∆ СDF равнобедренные,
АВ=ВЕ и CD=CF
Пусть 1/3 ВС=а
Тогда АВ=СD=2a, BC=AD=3a
P=AB+BC+CD+DA=10a
ВС=3а=24 см
а=8 см⇒
Р=10а=80 см
