На отрезке АС длиной 18 м отмечена точка В. Найдите длины отрезков АВ и ВС, если известно, что: а) АВ в два раза меньше ВС; б) АВ:ВС=2:4. а)

Дано:

АС=18 м-отрезок

ВÎАС

ВС=2АВ

Найти: АВ и ВС.

Решение.

1) Пусть АВ=х, то ВС=2х (по условию)

т.к. АВ+ВС=АС (по аксиоме измерения отрезков)

=> х+2х=18; новый знак обозначения: => - следовательно

3х=18;

х=18:3;

х=6 (м)-АВ;

2) ВС=2х=2·6=12 (м) (по обозначенному).

ответ: АВ=6 м, ВС=12 м.

б)

Дано:

АС=18 м-отрезок

ВÎАС

АВ:ВС=2:4

Найти: АВ и ВС.

Решение.

1) т.к. АВ:ВС=2:4 => АВ=2х, ВС=4х (по условию)

т.к. АВ+ВС=АС (по аксиоме измерения отрезков)

=> 2х+4х=18;

6х=18;

х=18:6;

х=3 (м) - коэффициент пропорциональности;

2) АВ=2х=2·3=6 (м), ВС=4х=4·3=12 (м).

ответ: АВ=6 м, ВС=12 м.​

  Обозначим параллелограмм АВСD. Проведем высоты из вершин острых углов параллелограмма.  Они пересекутся с продолжениями сторон.  СТ- высота к АD , АК - высота к СD. Прямоугольные треугольники АКD и СТD подобны по равному острому углу при D ( они вертикальные). k=AK:CT=2.  Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. ⇒ S(AKD)=4S(CTD)

  Из ∆ АСТ по т.Пифагора АТ=5. Из ∆ АСК по т.Пифагора СК=4. Площадь половины параллелограмма S(АСD)=S(ACT)-S(CTD). Она же равна S(ACK)-S(AKD) Подставим в уравнения известные значения и приравняем их. 0,5•5•√3 - S(CTD)=0,5•4•2√3 -4S(СТD), откуда получим S(CTD)=(3√3):6=0,5√3

Ѕ АВСD=2•S(ACD)=2•[(0,5•5•√3-0,5√3)]=4√3 ⇒ S²=(4√3)²=48

Гульсарочка как то вокруг решения ходит :) Диагонали у параллелограмма не равны, только у прямоугольника. 

Вот как можно поступить. Берется прямоугольный треугольник со стронами 5,12,13. На катете 12 от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный малому катету, то есть 5, и соединяется с противоположной вершиной треугольника. Получился треугольник со сторонами 12 - 5 = 7, 13 и 5*корень(2). 

Вот на такие два треугольника и делит заданный параллелограмм диагональ длинны 13. Можно легко достроить его, проведя 2 линии, параллельные сторонам этого треугольника, через противоположные вершины.

Площадь такого параллелограмма равна 5*7 = 35.

Вот какая штука. В моем решении (и - между прочим, в решении Гульсарочки!) вторая сторона параллелограмма получается 5*корень(2), что больше 7 (совсем немного, но - больше). Поэтому вторая высота (проведенная к этой стороне) - меньше 5 (произведение высоты на сторону равно площади). Поэтому мое решение не соответствует условию, в котором сказано, что 13 - наибольшая из диагоналей, а 5 - наименьшая из высот. 

В решении же Гульсарочки, которое получается, если от вершины прямого угла откладывается отрезок, равный 5, вдоль продолжения катета 12, то есть длина стороны параллелограмма равна 12 + 5 =17. Это решение ничем не хуже и не лучше моего, поскольку тоже не удовлетворяет всему условию :) - в этом случае диагональ 13 не наибольшая.