РАЗОБРАТЬСЯ

Дан треугольник ABC . На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN , параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC ); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM , отличная от P . Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку​

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим  ACB = g . Тогда

 AQP =  ANP =  ACB = g,  BQP =  BMP =  ACB = g,

значит, для любого положения точки P отрезок AB виден из точки Q под одним и тем же углом 2g , поэтому все точки Q лежат на одной и той же окружности, а т.к. QP — биссектриса угла AQB , то все прямые PQ проходят через середину не содержащей точку Q дуги AB этой окружности. Аналогично для остальных случаев.