Один із внутрішніх односторонніх кутів при 2 прямих і січній у три рази більший від іншого. Чи паралельні прямі, якщо різниця цих кутів рівна 40 градусів.?

а)
Допустим AK < BK (точка K ближе к вершине A) . 
Обозначаем  сторону основания правильной пирамиды
AB=BC =CD =DA =a ;
Пусть выполняется S(ABCD) =S(KPM) ⇔
a² =KM*PO/2 ⇔a² =KM*(1,5a)/2⇒KM= 4a/3 .  AB= a< 4a/3 < a√2 =AC ,.т.е   KM не ⊥ AD  и  KM не совпадает  с  диагоналями основания .
б)
Через центр основания  O проведем  EF ⊥ AD (тоже самое EF ⊥ CD), где 
E ∈ [AD]  ,   F ∈ [BC] .  || K∈[AE] ||
ΔOEK = ΔOFM  по второму признаку равенства треугольников   (OE=OF=AB/2 ;∠OEK =∠OFM=90°  и  ∠KOE =∠MOF-вертикальные углы) .
MF=KE . 
---
Sпол(PABMK) = S(ABMK) +S₁бок .
S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB ; AK +BM =(a/2 -KE) +(a/2 +MF)=a.
 ⇒S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB=a/2 *a =a²/2.
S₁бок  =S(APK) +S(BPM)+S(APB) +S(KPM) =AK*h/2+BM*h/2+a*h/2+a²=
 =(AK+BM)*h/2 +.a*h/2 +a² =a*h/2+a*h/2+a²  =a*h+a² .
 Sпол(PABMK)=a²/2+a*h+a²=3a²/2+a*h = (3a+2a*h)/2, где  h_длина апофема .  
ΔEPF  h =EP=√((a/2)² +PO²) =√(a²/4 +9a²/4) =(a√10)/2 .
---
Sпол(PABCD) = S(ABMK) +S₂бок =a²+4*a*h/2 =a²+2*a*h  ;
 Sпол(PABMK)/ Sпол(PABCD) =(3a²+2a*h )/2  : (a²+2*a*h)  =
 =a²(3+√10)/2 : a² (1+√10) =(3+√10) / 2(1+√10).

Запишем дано.

Нам задана равнобедренная трапеция ABCD.

Основания трапеции равны AD = a = 9 ед и BC = 4 ед.

Так как трапеция равнобедренная то боковые стороны между собой равны и мы можем записать, что AB = CD = c.

AD + BC = AB + CD;

так как AD = a = 9; BC = b = 4; AB = CD = c, запишем равенство:

a + b = c + c;

a + b = 2c;

9 + 4 = 2c;

Из полученного линейного уравнения находим значение боковой стороны с:

2c = 13;

с = 6,5 ед.

Для нахождения площади трапеции будем использовать формулу:

S = (p - c)√(p - a)(p - b), где p — полу периметр трапеции.

Найти полу периметр трапеции можно по формуле:

p = (a + b + 2c)/2;

Подставляем в формулу найденные значение длин сторон и находим полу периметр.

p = (9 + 4 + 2 * 6.5)/2 = (9 + 4 + 13)/2 = 26/2 = 13 ед.

Для нахождения площади трапеции все параметры найдены. Подставляем их в формулу и вычисляем:

S = (p - c)√(p - a)(p - b) = (13 - 6.5)√(13 - 9)(13 - 4) = 6.5 * √4 * 9 = 6.5 * √36 = 6.5 * √6^2 = 6.5 * 6 = 39 кв. ед.

ответ: 39 кв. ед.