ответ: 6 сторон
Перевод: В выпуклом многоугольнике есть 5 углов с градусной мере 140 ° каждый, все другие углы острые. Найдите количество сторон этого многоугольника.
Объяснение:
Как ни странно, говорить мы будем больше о внешних углах. В любом многоугольнике, сумма внешних углов равна 360 °. Внешний угол равен 180° минус внутренний. В нашем случае внутренний угол равен 140°. Поэтому внешний угол равен 180°-140° = 40° Таких углов по условию 5, значит их сумма = 5*40° = 200°. Значит на все остальные (острые) углы остается 360°- 200° = 160°
Внешний угол острого угла должен быть тупым, но 160° нельзя разделить хотя бы на 2 тупых угла. Значит в многоугольнике есть всего один острый угол величиной 180° - 160° = 20 градусов.
То есть в многоугольнике всего 6 углов и против них 6 сторон.
Если в равнобедренной трапеции провести высоты ВН и СК, то получим НВСК - прямоугольник (ВС║КН, так как основания трапеции параллельны, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой), тогда
ВС = КН и ВН = СК.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), тогда
АН = DK = (AD - KH)/2 = (AD - BC)/2.
Площадь трапеции:
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
Воспользуемся этими выводами для решения задач:
а) AH = DK = (17 - 11)/2 = 3 см
ΔАВН прямоугольный с гипотенузой, равной 5 см и катетом 3 см, значит он египетский и
ВН = 4 см.
Sabcd = (17 + 11)/2 · 4 = 28/2 · 4 = 14 · 4 = 56 см²
б) AH = DK = (8 - 2)/2 = 3 см
ΔABH: ∠AHB = 90°, ∠BAH = 60°, ⇒ ∠ABH = 30°.
AB = 2AH = 6 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°,
по теореме Пифагора:
BH = √(AB² - AH²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см
Sabcd = (8 + 2)/2 · 3√3 = 15√3 см²
