Внизу
Объяснение:
Подобны, Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
1) боковые ребра и высота разделены на пропорциональные части;
2) многоугольник сечения подобен основанию;
3) площади основания и сечения относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Доказательство:
1) Так как \beta\||\alpha и они пересечены плоскостью грани ASB по прямым A_{1}B_{1} и AB , то A_{1}B_{1}||AB. Аналогично получим, что B_{1}C_{1}||BC, C_{1}D_{1}||CD и т. д. и B_{1}H_{1}||BH. На сторонах углов ASB, BSC, CSD, ... , BSH получим пропорциональные отрезки:
\frac{SA_{1}}{A_{1}A} = \frac{SB_{1}}{B_{1}B}; \frac{SB_{1}}{B_{1}B} = \frac{SC_{1}}{C_{1}C}; \frac{SC_{1}}{C_{1}C} = \frac{SD_{1}}{D_{1}D}; \ldots ; \frac{SB_{1}}{B_{1}B} = \frac{SH_{1}}{H_{1}H}.
Отсюда:
\frac{SA_{1}}{A_{1}A} = \frac{SB_{1}}{B_{1}B} = \frac{SC_{1}}{C_{1}C} = \frac{SD_{1}}{D_{1}D} =\ldots= \frac{SH_{1}}{H_{1}H}.
2) \triangle{A_{1}SB_{1}}\sim\triangle{ASB}; \triangle{B_{1}SC_{1}}\sim\triangle{BSC}; \triangle{C_{1}SD_{1}}\sim\triangle{CSD}
и т.д. Значит
\frac{A_{1}B_{1}}{AB} = \frac{SA_{1}}{SA}; \frac{B_{1}C_{1}}{BC} = \frac{SB_{1}}{SB}; \frac{C_{1}D_{1}}{CD} = \frac{SC_{1}}{SC} и т.д.
Но правые отношения в этих пропорциях равны между собой на основании только что доказанной первой теоремы, поэтому равны между собой и левые отношения:
\frac{A_{1}B_{1}}{AB} = \frac{B_{1}C_{1}}{BC} = \frac{C_{1}D_{1}}{CD} и т.д.
Т. е. стороны многоугольников A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1} и ABCDE пропорциональны. Соответствующие углы этих многоугольников равны. Следовательно, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1} \sim ABCDE.
3) Пусть Q и Q' — площади основания и сечения. Имеем:
\frac{Q}{Q'} = \frac{A_{1}B_{1}^2}{AB^2};
Но \frac{A_{1}B_{1}}{AB} = \frac{SA_{1}}{SA} = \frac{SH_{1}}{SH} (по теореме 1), поэтому
\frac{Q}{Q'} = \frac{SH_{1}^2}{SH^2}.
Две прямые касаются окружности (радиусом 9 см) с центром О в точках Р и K и пересекаются в точке M. Найдите угол между этими прямыми, если ОМ = 18 см.
Объяснение:
Дано Окр О( R=9) , МР, МК-касательные , ОМ=18 см.
Найти ∠РМК.
Решение.
ΔРМО-прямоугольный, по свойству касательной. Т.к гипотенуза ОМ = 18 см, катет ОР =9 см в два раза меньше , то угол ∠РМО=30°.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки М, равны и составляют равные углы ( это ∠РМО и ∠КМО ) с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности ⇒∠РМО и ∠КМО.
Тогда ∠РМК=∠РМО + ∠КМО= 30°+30°=60°
ответ.∠РМК=60°
