тема: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике решить задачи)

1) Это парабола, ветви которой вверх. Найдем координаты вершины: x0= - 8/8= - 1,

y0=4-8+5=1. Ниже точки (-1; 1) нет ни одной точки параболы, т.е. множество значений

[1; +беск)

2) Гипотенуза этого треугольника будет диаметром окружности (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается).Найдем гипотенузу по т.Пифагора

sqrt(144+25)=13 - это диаметр. Тогда радиус равен 6,5

3) Чтобы эта парабола имела 2 общие точки с осью абсцисс, уравнение должно иметь 2 корня, т.е. дискриминант должен быть >0

D=36-4(-b+3)>0,  36+4b-12>0,  4b>-24,  b>-6. ответ:  (-6; +беск)

Октаэдр в задаче можно представить себе следующим образом.
Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра.
К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0)
то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно.
Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c.
Вот тут самая важная часть решения.
"С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба.
Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней.
В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра).
То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c)
"В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2".
Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1);
Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;