Дано: треугольник abc, bd перпендикуляр ac, dk перпендикуляр bc, угол a= a, угол abd= b, угол c=ф , ad=7, dc=10, bc=26.
найти:
1. длину отрезка bd. 2. длину отрезка ab. 3. высоту dk в треуголнике bdc.
4. sin ф. 5. tg a. 6.cos b. 7.средние линии треугольника abc.
8. отрезки bk и kc, на которые высота dk делит гипотенузу bc в треугольнике bdc.
9. площадь: а) треугольника abc; б) треугольника abd.
10. радиус окружности: а) описанной около треугольника bdc; б) вписанной в треугольник abd.
11. величины отрезков dn и nc, на которые биссектриса угла dbc делит сторону dc в треугольнике bdc.
12.медиану треугольнике abd.
13. длину отрезка om, где o - точка пересечения медиан трегольника abd.
14. подобные треугольники на рисунке.

Допустим, имеем параллелограмм ABCD, в котором AC и BD - диагонали.
Доказательство:
1. Необходимо опустить перпендикуляры BK и CF на прямую, которая содержит сторону AD. 
2. Рассмотрим ΔBDK:
По теореме Пифагора:
BD²=KD²+BK²
3. Рассмотрим ΔACF:
По теореме Пифагора:
AC²=AF²+CF²
4. Складываем два выражения в столбик:
BD²=KD²+BK² 
+
AC²=AF²+CF²
=
AC²+BD²=KD²+BK²+AF²+CF²
По свойству высот в параллелограмме, BK=CF ⇒ AC²+BD²=2BK²+KD²+AF²
5. Рассмотрим ΔABK:
По теореме Пифагора:
BK²=AB²-AK²
6. Так как KD=AD-AK, AF=AD+FD ⇒ AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+FD)²
7. BK=CF, AB=CD ⇒ ΔABK=ΔDCF - по свойству катета и гипотенузы ⇒ AK=DF ⇒ 
AC²+BD²=2(AB²-AK²)+(AD-AK)²+(AD+AK)²
AC²+BD²=2AB²-2AK²+AD²-2AD*AK+AK²+AD²+2AD*AK+AK²
AC²+BD²=2AB²+2AD²
AC²+BD²=2(AB²+AD²)
Что и требовалось доказать.

Вспомним, что четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны между собой. 
Значит, сумма боковых сторон равна 4+9=13
Пусть дана трапеция АВСД,
ВС||АД, углы А и В - прямые. 
Опустим из С высоту СН на основание АД. 
Тогда АВСН - прямоугольник, АН=ВС=3, АВ=СН=х, СД=13-х. По т.Пифагора найдем х:
(13-х)²=х²+5²
 169-26х=х²=х²+25  
 26х=144 
 х=144/26 Площадь трапеции равна половине произведения высоты на полусумму оснований:
S=CH*(ВС+АД):2 S=(144/26)*13/2=36 (ед. площади)
-------
У прямоугольной трапеции есть свойство: 
площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности,  равна произведению ее оснований, что  и подтверждается данным решением.