Дан параллелограмм abcd. найдите его периметр параллелограмма, если отрезок hq является средней линией треугольника abc и hb= 2см, bq = 3см.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади этого треугольника к его полупериметру: .
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Перепишем формулу:  .
(Здесь  и  - катеты,  - гипотенуза.)

Преобразуем числитель: .

Подставляем:
  

Значит,  . Но в то же время  .

Получаем систему уравнений:  
Вычитая второе уравнение из первого, получаем  , откуда  см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы этого треугольника. Получаем, что  см.

 Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому  ∠RQD = ∠DAR.  Также, поскольку четырёхугольник ABCD  – вписанный, то  ∠BCD = 180° – ∠DAR.  Cледовательно,  ∠RQD + ∠BCD = 180°,  то есть прямые PT и RQ параллельны.

  Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому 
PQ = AC·sin∠BCD.  Aналогично,  RT = BD·sin∠ABC.  Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что 
   Значит,  PQ = RT,  то есть трапеция – равнобокая.