Теперь мы видим, что у нас получилось произведение пяти множителей, где каждый следующий множитель получается умножением предыдущего на следующий элемент (2^n + 1). Это означает, что когда мы раскроем каждый множитель, мы получим сумму всех возможных комбинаций между элементами 2^n и 1.
Давайте рассмотрим более простой пример для ясности:
Мы видим, что итоговая сумма была разделена на три слагаемых, где каждое слагаемое является произведением элементов (2^n + 1) в определенной комбинации.
Вернемся к нашей исходной задаче:
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
= (2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1)
Мы можем заметить, что когда мы разложим каждый элемент в скобках, мы получим сумму всех возможных комбинаций.
Теперь обратим внимание на то, что это похоже на разложение в алгебре, которое называется раскрытие скобок.
Только вместо обычных чисел, у нас есть числа вида (2^n + 1).
Поэтому, когда мы будем раскрывать скобки, мы получим все комбинации между элементами (2^n + 1) и каждый элемент будет участвовать в этой комбинации.
Таким образом, при раскрытии скобок мы получим сумму всех возможных комбинаций и элементов (2^n + 1).
Давайте теперь взглянем на выражение (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) после раскрытия скобок:
