Если надо решить неравенство х²-14>0 , то левую часть можно разложить (factoring) на множители с формулы разности квадратов:
х²-14=(х-√14)(х+√14) .
Тогда неравенство будет иметь вид (х-√14)(х+√14)>0 .
Нулями функции f(x)=(х-√14)(х+√14) будут числа х=√14 и х= -√14 , так как при этих значениях переменной х функция f(x)=0 .
Чтобы числа расставить правильно на числовой оси , надо вспомнить, что отрицательные числа меньше, чем положительные, значит на числовой оси отрицательное число находится левее, чем положительное .
(-√14) (√14)
Теперь применяем метод интервалов решения неравенств. Расставляем знаки на полученных интервалах . На этих интервалах функция сохраняет знаки .
Начинаем с правого интервала . Выбираем точку, принадлежащую интервалу (√14;+∞) , например х=100 . Подставляем это число в функцию , получим (100-√14)(100+√14)>0 (ясно, что 100>√ 14 , поэтому 1 и 2 скобки будут положительны , значит всё произведение будет положительным) . Ставим на промежутке знак + .
Аналогично, выбираем х=0 ∈ (-√14;√14) . Вычисляем знак функции:
(0-√14)(0+√14)= -√14*√14<0 . Ставим знак минус .
х= -100 ∈ (-∞; -√14) , (-100-√14)(-100+√14)>0 (отрицательное число умножаем на отрицательное, получим положительное число) . Ставим знак плюс .
+ + + + + (-√14) - - - - - (√14) + + + + +
Так как неравенство задано со знаком больше (>) , то в ответ выбираем промежутки, где записан знак плюс .
ответ: х ∈ (-∞; -√14) ∪ (√14;+∞) .
2. Если задано неравенство (x-4)(x+3)>0 , то сначала определяем нули функции , приравняв каждую скобку 0 .
x-4=0 ⇒ x=4
x+3=0 ⇒ x= -3
Число -3 < 4 , поэтому лежит левее на числовой оси, чем 4 .
(-3) (4)
Знаки считаем на интервалах аналогично.
х=100 : (100-4)(100+3)>0
x=0 : (0-4)(0+3)<0
x= -20 : (-20-4)(-20+3)>0
Знаки: + + + + + (-3) - - - - - (4) + + + + +
ответ: х ∈ (-∞;-3) ∪ (4;+∞) .
3. (х-3)(х+4)>0
Нули функции: х=3 , х= -4 , -4 < 3 .
Знаки; + + + + + (-4) - - - - - (3) + + + + +
ответ: х ∈ (-∞;-4) ∪ (3;+∞) .
(см. объяснение)
Объяснение:
ОДЗ:
Заметим, что для любого корня уравнения вне зависимости от значения параметра 
произведение 
будет больше или равно 4.
Причем 
, если 
- корень уравнения. Но это невозможно, так как при имеем 
(неверно) при любом значении параметра.
Тогда 
, то есть условие ОДЗ 
будет выполнятся всегда.
Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, либо если 
имеет один корень, удовлетворяющий ОДЗ, либо если это уравнение имеет два корня, только один из которых удовлетворяет ОДЗ.
Рассмотрим первый случай. Он достижим, когда 
.
При 
уравнение имеет корень 
, поэтому такое значение параметра не подходит.
При 
уравнение имеет корень 
, поэтому такое значение параметра подходит.
Рассмотрим второй случай. Он достижим, когда 
.
Здесь также важно, чтобы уравнение либо имело один корень 
, а другой положительный, либо один корень неположительный, а другой положительный, не равный единице.
Обратимся к первой ситуации:
В этом случае уравнение имеет корни или 
, первый из которых, отпадая, обеспечивает наличие единственного корня у исходного уравнения. Тогда такое значение параметра подходит.
Для того чтобы вторая ситуация могла быть достижимой, необходимо, но не достаточно, чтобы выполнялось условие 
при . Однако это невозможно, поэтому такой вариант рассматривать дальше не будем.
Итого при или 
исходное уравнение имеет единственное решение.
Задание выполнено!
