ответ
1) 63/65; 2) -√2/10; 3) √((9+√80)/18); 4) -2√2
1) Косинус разности
cos(a - b) = cos a*cos b + sin a*sin b.
У нас a = arcsin(3/5); sin a = 3/5;
cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5
b = arcsin(5/13); sin b = 5/13;
cos b = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
sin a = 3/5; sin b = 5/13
Получаем
cos(a - b) = 4/5*12/13 + 3/5*5/13 = 48/65 + 15/65 = 63/65
2) Синус суммы
sin(a + b) = sin a*cos b + cos a*sin b
У нас a = arcctg(1/2); tg a = 1/2;
sin a = √5/5; cos a = 2√5/5.
Проверяем: sin^2 a + cos^2 a = 5/25 + 4*5/25 = 1/5 + 4/5 = 1. Все верно.
Точно также b = arcctg(-1/3); tg b = -1/3;
sin b = √10/10; cos b = -3√10/10
sin^2 b + cos^2 b = 10/100 + 9*10/100 = 1/10 + 9/10 = 1. Все верно.
Получаем
sin(a + b) = √5/5*(-3√10)/10 + 2√5/5*√10/10 = -3√50/50 + 2√50/50 = -√50/50 = -√2/10
3) Косинус половинного угла
cos (a/2) = √((1 + cos a)/2)
У нас a = arcsin(1/9); sin a = 1/9;
cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 1/81) = √(80/81) = √80/9
cos (a/2) = √((1 + √80/9)/2) = √((9 + √80)/18)
4) tg a = sin a / cos a
У нас a = arccos(-1/3); cos a = -1/3;
sin a = √(1 - cos^2 a) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = √8/3
tg a = (√8/3) / (-1/3) = -√8/3 * 3 = -√8 = -2√2
ответ: 2^97
Объяснение:
Найдем наибольшую степень двойки что меньше чем 100.
Очевидно что это 2^6=64 (2^7=128>100)
Понятно ,что число содержащее 6 двоек единственно n1=1 .
Теперь разберемся как посчитать число чисел которые кратны только на 2^5 ( не больше чем на эту степень двоек)
Все числа кратные на 2^5 можно записать так:
2^5 ,2^5*2 ;2^5*3 ;2^5*42^5*n . Соответственно из всех n нас интересуют только нечетные , при этих n число будет кратно ровно на 2^5.
Найдем максимальное n, что 32*n<100
Очевидно что nmax=3 (3*32=96) (число нечетных чисел тут равно n2=2)
Для справки сразу скажем ,что число нечетных чисел на интервале от 1 до k равно k/2- если k-четное и (k+1)/2 ,если k-нечетное.
По аналогии посчитаем число таких чисел для 2^4=16
nmax=6 (6*16=96) (число нечетных чисел n3=6/2=3)
Для 2^3=8 :
nmax=12 (8*12=96) (n4=12/2=6)
Для 2^2=4 :
nmax=25 (4*25=100) ( n5=(25+1)/2=13)
Для 2^1=2
nmax=50 (2*50=100) (n6=50/2=25)
Осталось посчитать общее количество двоек:
N=6n1+5n2+4n3+3n4+2n5+n6=6+10+12+18+26+25=97
Значит 100! делится на 2^97.
