Подумаем вместе. Можно предположить,что в давние времена от слова береза образовалось слово береЗта, в течение многих лет произошло оглушение З перед глухой Т,затем это закрепилось в написании. Так слово стало береста. Но сегодня мы говорим,что эти слова не являются однокоренными.
