Существуют ли целые числа m и n,для которых верно равенство m^2+2018=n^2?

Нет, не существует. Доказательство
m^2-n^2=2010
(m-n)(m+n)=2010
Если m и n обе четные или обе нечетные, то произведение слева делится на 4, а 2010 на 4 не делится.
Если m и n разной четности, то произведение слева нечетно, а 2010 делится на 2.
Других случаев нет. Доказано.