Ученик 5 "ю" класса никита сказал учительнице,что сможет написать 17 нечетных чисел,что их сумма будет равна 2010.не усомнится ли в этом учительница?

Разумеется, усомнится. И правильно сделает..))
Сумма нечетного количества нечетных чисел есть число нечетное, и ни при каких условиях 2010 равняться не может.

Если число нечетное, то его можно представить в виде:
          m = 2k+1, где k∈Z (множеству целых чисел)
Так как 2k - всегда четно, то нечетное количество единиц (17)
даст в сумме нечетное число, и, как следствие, - сумма нечетного
и четного чисел есть число нечетное.