Вычислить tgα+ctgα, если cosα=-1/2, α∈ (π; 3π/2)

Tgα + ctgα = tgα + 1/tgα =  tg²α + 1/tgα
...
tg²α + 1 = 1/cos²α
...
1/(cos²α * tgα) = 1/(sinα * cosα)
Найдём синус через косинус, не забывая, что α ∈ 3 четверти:
sinα = -√(1 - cos²α) = -√(1 - ) = -√3/2
Теперь подставим синус и косинус в 1/(sinα * cosα). И у вас должно получиться 4/√3