Водяной построил кикимор в колонну по 3, при этом кикимора дуся осталась лишней. тогда водяной построил кикимор в колонну по 4. и снова дуся осталась лишней.в колонне по 5 кикимор дуся снова стояла в стороне. когда же и в колонне по 6 кикимора дуся осталась лишней, водяной посулил ей болото вне очереди , после чего в колонне по 7 дуся нашла себе место и никого лишнего не осталось. какое наименьшее количество кикимор могло быть у водяного

Признак делимости на 5: число, делимое на 5, должно оканчиваться на 0 или на 5.
Если остаток 1, то искомое число должно оканчиваться либо на 1, либо на 6.
Поскольку 4 и 6 - четные числа, то искомое число не должно быть четным, поскольку есть вероятность, что четное число разделится на 4 или 6 без остатка.

Признак делимости на 4: последние две цифры в записи должны составить число, которое делится на 4.

Признак делимости на 3: сумма цифр, составляющих число, должна делится на 3.

Рассмотрим числа, которые делятся на 7 и при этом заканчиваются на 1:
21, 91, 161 и т.п. То есть это все числа, кратные 7 и числам, заканчивающимся на 3.:
3•7=21
13•3=91
23•7=161
33•7=231
43•7=301
53•7=371
62•7=441
73•7=511
83•7=581
93•7=651
103•7=721
113•7=791 и так далее

21 не подходит, так как при делении на 3 остаток равен 0, а при делении на 6 остаток равен 3.

91 не подходит, поскольку:
число 90 не делится на 4 без остатка.

161 не подходит, так как 160 не делится на 3 (1+6+0=7)

231 не подходит, так как 230 не делится на 3 (2+3+0=5)

301 подходит, так как
301:7=43
301:3=100 и 1 в остатке
301:4=75 и 1 в остатке
301:5=60 и 1 в остатке
301:6=50 и 1 в остатке

53•7=371 не подходит, так как 370 не делится на 3 (3+7+0=10)

62•7=441 не подходит, так как 440 не делится на 3 (4+4+0=8)

73•7=511 не подходит, так как 510 не делится на 4 (10 не делится на 4)

83•7=581 не подходит, так как 580 не делится на 3 (5+8+0=13)

93•7=651 не подходит, так как 650 не делится на 3 (6+5+0=11)

Рассмотрим число 721:
721:7=103
721:3=240 и 1 в остатке
721:4=180 и 1 в остатке
721:5=144 и 1 в остатке
721:6=120 и 1 в остатке

ответ: наименьшее количество кикимор 301.