Можно ли придумать четыре таких целых числа, сумма и произведение которых нечётные

Таких чисел нет. Чтобы сумма была нечетной, надо, чтобы нечетное количество слагаемых было нечетное, то есть в нашем случаи, одно слагаемое обязательно будет четным, но в этом случае произведение будет четным.