При каких значениях параметра a неравенство 2(4-а)х в квадрате-2ах-(а+3)< 0 выполняется при любых х?

∀х ∈ ℝ 2(4 - а)х² - 2ах - (а + 3) < 0

1) а = 4 (обязательно рассматриваем случай, когда неравенство не квадратное)

-8х - 7 < 0 выполняется не для всех х. а = 4 не подоходит.

2) а ≠ 4

Чтобы вся парабола находилась под осью Ох необходим, чтобы старший коэффициент и дискриминант были меньше нуля.

Осталось решить систему:

2(4 - а) < 0
(-2а)² - 4×2(а - 4)(а + 3) < 0

4 - а < 0
4а² - 8(а² - а - 12) < 0

а > 4
-4а² + 8а + 96 < 0

а > 4
а² - 2а -24 > 0

а > 4
а > 6
а < -4

Решением системы является промежуток а > 6

ответ: а > 6