Найдите общее решение дифференцированного уравнения x^2 dx=3y^2dy

xy'-3y=(x^4)*(e^x)    
y'-3y/x=(x^3)*(e^x) // поделили на x, x=0 не является решением
  
1) рассматриваем "однородное" уравнение
y'-(3/x)*y=0 
dy/dx=3y/x   //переходим к дифференциальной записи 
dy/y=3dx/x   //поделили на y и x
// интегрируем и получаем
ln|y| =  3ln(|x|*C)
y (частное) = C*x^3 // получили частное решение дифференциального уравнения

2) а теперь начинаем работу непосредственно с постоянной
y=C(x)*x^3
y' = C'(x)(x^3) + 3*(x^2)*C(x) // посчитали производную
// подставим в исходное
C'(x)(x^3) + 3*(x^2)*C(x) - (3/x)*C(x)*(x^3) = (x^3)*e^x
// привели подобные, получили:
C'(x)*(x^3) = (x^3)*e^x 
C'(x) = e^x // поделили на x^3
// берем интеграл
C(x) = e^x + C1
// решение нашего уравнения:
y = (e^x + C1)*x^3
// теперь вспоминаем о задаче Коши. Подставляем:
4 = (e^2 + C1)*2^3
C1 = 1/2 - e^2
// Окончательный ответ:
y = (e^x +1/2 - e^2 )*x^3