ответ: N = 10
Т.к. в N-ичной системе счисления присутствует число 7 (и, соответственно, цифра 7), то основание системы больше 7, т.е. N > 7.
Так как 7 - простое число, то надо рассмотреть 2 случая: 1) 
2) 
∀ цифр A, B, C < N
1) 
Представим N в виде x+7k, где k,x∈N∪{0}, x∈[0,6]. Подставим:
Последовательно подставляя все возможные значения x в полученное уравнение, получаем, что оно верно при x = 3, x = 5 и x = 6.
Получаем 3 серии решений: N = 3 + 7k, N = 5 + 7k, N = 6 + 7k, k∈N, откуда наименьшее N в данном случае, с учетом условия N > 7, равно 3 + 7 = 10
2) Так как утверждение должно быть верно для ∀ цифр A, B, C < N, то оно будет верно и для наборов (1, 0, 0) и (1, 0, 1).
Тогда: 
При этом 
. Значит система сравнений не имеет решений. А значит не существует такого N, чтобы условие выполнялось
Значит и ответом будет N = 10
