Нам понадобятся
производная от произведения функций
(uv)'=u'v + uv'
производная от частного функций
(u/v)'=(u'v - uv')/v²
производная от ctgx
(ctgx)'=-1/sin²x
a)
y=7x³ * ctgx
y'=7*3*x²*ctgx + 7x³*(-1/sin²x)=
21x²ctg²x - 7x³/sin²x=
(21x²*cosx²*sinx²/cosx² - 7x³) / sin²x=
(21x²sinx² - 7x³)/sin²x=21x²-7x³/sin²x.
b)
y=(37 - x¹²) / x⁵
y'=(-12*x¹¹*x⁵ - (37 - x¹²)*5x⁴) / x¹⁰=
-(12x¹⁶ + 5(37-x¹²)x⁴)/x¹⁰=
-12x⁶ + 5(37-x¹²)x⁻⁶=
-12x⁶ + 5*37x⁻⁶ - 5x¹²*x⁻⁶=
-12x⁶ + 5(37x⁻⁶ - x⁶)=
-12x⁶ +5*37x⁻⁶ - 5x⁶=
-17x⁶ + 185 / x⁶.
Проверьте вычисления.
Пошаговое объяснение:
1) Функция определена при любом значении x, то есть область определения функции D[y]=(-∞;∞).
2) Функция является непрерывной.
3) Так как y(x)≠y(-x) и y(-x)≠-y(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.
4) Функция не является периодической.
5) Исследуем поведение функции при x⇒∞ и при x⇒-∞.
5.1 При x⇒∞ lim y(x)=∞.
5.2 При x⇒-∞ lim y(x)=lim x⁴*lim(3+4/x+12/x²-10/x⁴)=∞.
6) Найдём асимптоты функции.
6.1 Так как функция непрерывна, то есть не имеет точек разрыва, то вертикальных асимптот нет.
6.2 Ищем наклонные асимптоты. Они задаются уравнениями y=k*x+b. Находим k1=lim y(x)/x при x⇒∞: k1=lim (3*x³+4*x²+12*x-10/x)=∞. Отсюда следует, что при x⇒∞ наклонной (и в частности горизонтальной) асимптоты нет. Находим теперь k2=lim y(x)/x при x⇒-∞: k2=lim x³ * lim (3+4/x+12/x²-10/x³)=-∞. Отсюда следует, что при x⇒-∞ наклонной (и в частности горизонтальной) асимптоты также нет.
7) Исследуем функцию на наличие максимумов, минимумов, наибольших и наименьших значений. Находим первую производную: y'(x)=12*x³+12*x²+24*x=12*x(x²+x+2) и приравниваем её к нулю. Отсюда следует уравнение 12*x*(x²+x+2)=0, решая которое, находим единственную критическую точку x=0. Если x<0, то y'(x)<0, поэтому на интервале (-∞;0) функция убывает. Если же x>0, то y'(x)>0, поэтому на интервале (0;∞) функция возрастает. Значит, точка x=0 является точкой минимума, а наименьшее значение функции ymin=y(0)=-10.
8) Находим область значений функции: E[y]=[-10;∞).
9) Исследуем функцию на наличие точек перегиба. Находим вторую производную: y"(x)=36*x²+24*x+24=12*(3*x²+2*x+2) и приравниваем её к нулю. Отсюда следует уравнение 3*x²+2*x+2=0, которое не имеет действительных решений. Значит, точек перегиба функция не имеет. И так как при этом y"(x)=12*(3*x²+2*x+2)>0 для любых значений x, то функция всюду будет вогнутой, или выпуклой вниз.
10) Используя полученные результаты, строим график функции.
