Решите 9 класс
1. Коля говорит, что две шоколадки дороже пяти жвачек, Саша – что три шоколадки дороже восьми жвачек. Когда это проверили, прав оказался только один из них. Верно ли, что 7 шоколадок дороже, чем 19 жвачек? Не забудьте обосновать ответ.
2. Расположите в одной строке числа от 1 до 100 так, чтобы числа стоящие по соседству отличались либо на 2, либо на 5.
3. Петя и Вася играют в игру на клетчатом поле 9 × 9. В начале игры в центральной клетке стоит фишка. Петя и Вася передвигают ее по очереди в со- седнюю по стороне клетку. При этом Петя своим ходом может либо продолжить направление предыдущего хода Васи, либо повернуть направо. Вася же может своим ходом либо продолжить направление предыдущего хода Пети, либо по- вернуть налево. Проигрывает игрок, который не может сходить. Первый ход Петя может делать в любом направлении. Может ли Петя наверняка победить?
4. Поликарп записал на доске пример на умножение двух трехзначных чи- сел и вместо знака умножения написал 0. В результате, он получил семизначное число, которое в целое число раз больше произведения. Во сколько именно?
5. Точки X и Y – середины диагоналей соответственно AC и BD выпук- лого четырёхугольника ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке P. Докажите, что площадь треугольника PXY в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

1. Для решения этой задачи необходимо использовать информацию о том, что только один из утверждений Коли и Саши верно. Для начала, приведем каждое утверждение к математическому виду.

Утверждение Коли: 2 шоколадки > 5 жвачек
Утверждение Саши: 3 шоколадки > 8 жвачек

Теперь мы хотим узнать, верно ли утверждение, что 7 шоколадок > 19 жвачек.

Давайте проанализируем каждое утверждение поочередно.

Утверждение Коли: 2 шоколадки > 5 жвачек
Для проверки этого утверждения, мы можем использовать отношение: 2 шоколадки / 5 жвачек. Это отношение равно 2/5 = 0.4.

То есть, у Коли получается, что одна шоколадка стоит 0.4 жвачек.

Утверждение Саши: 3 шоколадки > 8 жвачек
Для проверки этого утверждения, мы можем использовать отношение: 3 шоколадки / 8 жвачек. Это отношение равно 3/8 = 0.375.

То есть, у Саши получается, что одна шоколадка стоит 0.375 жвачек.

Теперь мы можем сравнить стоимость шоколадок по каждому утверждению:

Утверждение Коли: 0.4 жвачки за шоколадку
Утверждение Саши: 0.375 жвачки за шоколадку

Мы видим, что в обоих утверждениях шоколадки стоят меньше, чем жвачки. Это означает, что оба утверждения были ложными. Таким образом, нельзя сказать, что 7 шоколадок дороже, чем 19 жвачек.

2. Чтобы расположить числа от 1 до 100 в одной строке так, чтобы числа стоящие по соседству отличались либо на 2, либо на 5, можно использовать следующую стратегию:

Так как нас не ограничивают в порядке, в котором числа должны быть расположены, мы можем начать с числа 1. Затем выбираем число 3, так как оно отличается от 1 на 2. Затем выбираем число 6, так как оно отличается от 3 на 3. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем числа 100.

Вот как будет выглядеть последовательность чисел:

1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 38, 41, 43, 46, 48, 51, 53, 56, 58, 61, 63, 66, 68, 71, 73, 76, 78, 81, 83, 86, 88, 91, 93, 96, 98

3. Чтобы ответить на вопрос, можно ли Пете наверняка победить, необходимо рассмотреть возможные варианты ходов для Пети и Васи.

Петя начинает игру и может выбрать любое направление для первого хода. Поскольку Вася не может менять направление сразу после первого хода, Петя может выбрать такое направление, чтобы оно не позволяло Васе поменять направление при следующем ходе.

Все возможные варианты первого хода для Пети:
1) Петя идет вверх (направление наверх), Вася не может менять направление, поэтому он может сделать только один ход вверх.
2) Петя идет вниз (направление вниз), Вася может сделать только один ход вниз.
3) Петя идет влево (направление влево), Вася может сделать только один ход влево.
4) Петя идет вправо (направление вправо), Вася может сделать только один ход вправо.

При любом из этих вариантов Петя выбирает ход так, чтобы Вася не мог поменять направление, оставляя Пете ту же возможность хода.

Таким образом, Петя наверняка побеждает в этой игре.

4. Поликарпу необходимо решить, во сколько раз семизначное число, полученное в результате умножения двух трехзначных чисел, больше произведения этих чисел.

Пусть умножаемые числа состоят из цифр abc и def, а полученное семизначное число состоит из цифр abcdefg.

Тогда уравнение будет выглядеть так: (100a + 10b + c) × (100d + 10e + f) = 0abcdefg

Раскрываем скобки и получаем: 10000ad + 1000(ae + bd) + 100(af + be + cd) + 10(bf + ce) + cf = 0abcdefg

Таким образом, мы имеем следующую систему уравнений:
1) 10000ad = 0
2) 1000(ae + bd) = a
3) 100(af + be + cd) = b
4) 10(bf + ce) = c
5) cf = d
6) f = g

Из первого уравнения следует, что a=0.

Теперь заменим a на 0 в остальных уравнениях:
2) 1000(0e + bd) = 0
3) 100(0f + be + cd) = b
4) 10(bf + 0e) = c
5) cf = d
6) f = g

Из второго уравнения следует, что bd = 1 (так как b ≠ 0, чтобы число было трехзначным).

Подставляем эту информацию в остальные уравнения:
3) 100(bc) = b
4) 10(bf) = c
5) cf = d
6) f = g

Так как c ≠ 0, мы можем поделить третье уравнение на c и получить f = d/c.

Так как f и g должны быть целыми числами, d должно делиться на c без остатка.

Теперь заменим c на d/c в оставшихся уравнениях:
3) 100(b(d/c)) = b
4) 10(bf) = d/c
6) f = g

Так как b ≠ 0, оно должно делиться на d/c без остатка. То есть, d/c должно быть делителем b.

Рассмотрим все возможные значения b и d/c:
b = 1, d/c = 1 (не подходит)
b = 2, d/c = 1 (не подходит)
b = 3, d/c = 1 (не подходит)
b = 4, d/c = 1 (подходит!)

Таким образом, мы получаем, что число, в которое нужно умножить трехзначное число, чтобы получить семизначное число, будет равно 4.

5. Чтобы доказать, что площадь треугольника PXY в четыре раза меньше площади четырехугольника ABCD, мы должны использовать свойства серединных перпендикуляров и диагоналей в четырехугольниках.

Последовательно рассмотрим каждое свойство:

1) Точки X и Y - середины диагоналей AC и BD соответственно. Это означает, что отрезки AX и XC равны, а также BY и YD равны.

2) Прямые BC и AD пересекаются в точке P. Это означает, что отрезки AP и PD равны, а также отрезки BP и PC равны.

Теперь рассмотрим площади треугольника PXY и четырехугольника ABCD.

Площадь треугольника PXY можно выразить через длины его сторон. Пусть PX = a, PY = b и XY = c. Тогда площадь треугольника PXY равна sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), где s = (a + b + c) / 2 - полупериметр треугольника.

Площадь четырехугольника ABCD можно разделить на два треугольника ABC и ACD, площади которых можно выразить таким же образом.

Пусть AB = d, BC = e, CD = f и AD = g. Тогда площадь треугольника ABC равна sqrt(s1(s1-d)(s1-e)(s1-f)), где s1 = (d + e + f) / 2, а площадь треугольника ACD равна sqrt(s2(s2-f)(s2-g)(s2-d)), где s2 = (d + f + g) / 2.

Теперь мы можем сравнить отношение площадей треугольника PXY и четырехугольника ABCD:

(sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))) / (sqrt(s1(s1-d)(s1-e)(s1-f)) + sqrt(s2(s2-f)(s2-g)(s2-d)))

Раскрывая обе квадратные корни, мы получаем:

sqrt((s(s-a)(s-b)(s-c)) / ((s1(s1-d)(s1-e)(s1-f)) + sqrt((s2(s2-f)(s2-g)(s2-d))

Далее мы можем сократить множители внутри корня, используя свойства равенства, так как нам даны равенства отрезков PX = a, PY = b, AP = PD, BP = PC.

В результате, мы получаем:

sqrt( (a^2 * b^2 * f * (s-d)*(s-e)*(s-f)*(s-g)) / ( a^2 * b^2 * (s-d)*(s-e)*(s-f)*(s+g) + a^2 * b^2 * f * f * (s-d)*(s-e)*(s-f)*(s-g) ) )

Если мы упростим это выражение, мы получим:

sqrt( f / (f + 4g) )

Поскольку PX и PY равны, отрезки AP и PD также равны, а отрезки BP и PC также равны, мы можем сделать вывод, что f = 2g.

Подставляем это в наше выражение и получаем:

sqrt(2g / (2g + 4g)) = sqrt(1/4) = 1/2.

Таким образом, площадь треугольника PXY в четыре раза меньше площади четырехугольника ABCD.