№ 1. Для выборки 1,9,2,1,1,5,5,1,5,9 определите: а) размах выборки; б) объём выборки; в)статистический ряд; г) выборочное распределение; д) полигон ча-стот; е) выборочное среднее; ж)выборочную дисперсию; з) несмещенную вы-борочную дисперсию.
№ 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки.
Номер интервала Частичный интервал Сумма частот
1 2-7 5
2 7-12 10
3 12-17 25
4 17-22 6
5 22-27 4
Замечание. Найти предварительно плотность частоты для каждого интервала.

Вопросы для самопроверки.
1. Дайте определение вариационного ряда.
2. Что называется размахом выборки?
3. Как для данной выборки получают статистический ряд и выборочное распре-деление?
4. Какие графические изображения выборок вы знаете?
5. Чему равна площадь гистограммы относительных частот?
6. Дайте определение выборочного среднего.
7. Дайте определение выборочной дисперсии.
8. Как связаны между собой выборочная дисперсия и несмещенная выборочная дисперсия?

№ 1.
а) Размах выборки - это разница между наибольшим и наименьшим значениями в выборке. Для данной выборки размах равен 9-1=8.
б) Объем выборки - это количество значений в выборке. Для данной выборки объем равен 10.
в) Статистический ряд - это упорядоченный список значений выборки без повторений, с указанием частоты появления каждого значения. Для данной выборки статистический ряд выглядит следующим образом:
1 - 4 раза
2 - 1 раз
5 - 3 раза
9 - 2 раза
г) Выборочное распределение - это таблица, в которой указаны значения выборки и соответствующие им частоты. Для данной выборки выборочное распределение выглядит следующим образом:
1 - 4
2 - 1
5 - 3
9 - 2
д) Полигон частот - это графическое изображение выборочного распределения, в котором на оси абсцисс откладываются значения выборки, а на оси ординат - соответствующие им частоты. Для данной выборки полигон частот выглядит следующим образом:

4 --
3 --
Частота 2 --
1 ----- -----
1 5 9
Значение выборки

е) Выборочное среднее - это сумма всех значений выборки, поделенная на объем выборки. Для данной выборки выборочное среднее равно (1+9+2+1+1+5+5+1+5+9)/10 = 3.9.
ж) Выборочная дисперсия - это мера разброса значений выборки относительно их выборочного среднего. Для вычисления выборочной дисперсии нужно вычесть выборочное среднее из каждого значения выборки, возвести результат в квадрат, найти сумму всех полученных квадратов и поделить эту сумму на объем выборки минус 1. Для данной выборки выборочная дисперсия равна [(1-3.9)^2 + (9-3.9)^2 + (2-3.9)^2 + (1-3.9)^2 + (1-3.9)^2 + (5-3.9)^2 + (5-3.9)^2 + (1-3.9)^2 + (5-3.9)^2 + (9-3.9)^2] / (10-1) = 7.89.
з) Несмещенная выборочная дисперсия - это аналогичная выборочной дисперсии метрика разброса, но поделенная на объем выборки. Для данной выборки несмещенная выборочная дисперсия равна [(1-3.9)^2 + (9-3.9)^2 + (2-3.9)^2 + (1-3.9)^2 + (1-3.9)^2 + (5-3.9)^2 + (5-3.9)^2 + (1-3.9)^2 + (5-3.9)^2 + (9-3.9)^2] / 10 = 7.89/10 = 0.789.

№ 2.
Для построения гистограммы частот нужно построить прямоугольники, основания которых будут соответствовать интервалам, а высоты - значениям частот. Плотность частоты - это частота, поделенная на ширину интервала. Для каждого интервала нужно найти плотность частоты.
Интервал 1: Частота 5, ширина интервала 7-2=5, плотность частоты 5/5=1.
Интервал 2: Частота 10, ширина интервала 12-7=5, плотность частоты 10/5=2.
Интервал 3: Частота 25, ширина интервала 17-12=5, плотность частоты 25/5=5.
Интервал 4: Частота 6, ширина интервала 22-17=5, плотность частоты 6/5=1.2.
Интервал 5: Частота 4, ширина интервала 27-22=5, плотность частоты 4/5=0.8.
Теперь можно построить гистограмму частот, где на оси абсцисс будут отложены номера интервалов, а на оси ординат - значения плотности частоты. В результате получится следующая гистограмма:

|
|
5 |
Частота 4 |
3 | ----
Плотность 2 | ---- ----
| ---- ----
1 | ---- ----
| ---- ----
___________________
1 2 3 4 5
Номер интервала

Вопросы для самопроверки.
1. Вариационный ряд - это упорядоченный набор значений выборки без повторений.
2. Размах выборки - это разница между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
3. Для получения статистического ряда необходимо упорядочить значения выборки без повторений и указать, сколько раз встречается каждое значение. Для получения выборочного распределения необходимо составить таблицу, в которой указаны значения выборки и соответствующие им частоты.
4. Графические изображения выборок включают в себя: полигон частот, гистограмму частот, круговую диаграмму относительных частот, ящик с усами.
5. Площадь гистограммы относительных частот всегда равна 1.
6. Выборочное среднее - это сумма всех значений выборки, поделенная на объем выборки.
7. Выборочная дисперсия - это мера разброса значений выборки относительно их выборочного среднего.
8. Несмещенная выборочная дисперсия - это аналогичная выборочной дисперсии метрика разброса, но поделенная на объем выборки.