1. Вася взял три различных натуральных числа а, b и с и выписал на бумажку семь чисел а, b, c, a+b, b+c, cla, a+btc. Какое наибольшее количество простых чисел может быть среди них? 2. Каждый житель острова людоедов принадлежит к одному из двух племён: рыцарей, которые всегда говорят правду, или лжецов, которые всегда лгут. Однажды 1000 островитян встали в круг, и каждый заявил: «Оба моих соседа не из моего племени», Какое наибольшее количество рыцарей могло стоять в кругу?
3. На столе лежат палочки длиной 10 см, 11 см, …, 100 см. Петя и Вася играют в игру. Они по очереди убирают со стола по одной палочке, пока не останутся 3 палочки. Если из них можно сложить треугольник, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася. Начинает Петя. Кто выиграет при правильной игре?
4. Маляр ходит по доске 7×7. Как только он попадает на клетку, он ее закрашивает. После этого он может переместиться на соседнюю по стороне клетку, если остальные соседние с ней по стороне клетки еще не закрашены. Может ли маляр закрасить 32 клетки?
5. Произведение четырех натуральных чисел заканчивается на 2012, а их сумма нечетна. Докажите, что одно из чисел делится на 4.
6. Число назовем хорошим, если оно 20-значное и любое другое 20- значное число с такой же суммой цифр больше него. Сколько существует хороших чисел?
7. На основании АВ по разные стороны от него построены равносторонний треугольник АВС и равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с вершиной прямого угла Р. Пусть М - середина AC, N - середина ВС. Отрезки ВМ и PN пересекаются в точке I. Докажите, что AI - биссектриса угла NAB.
8. На поле 8 × 8 для игры в морской бой стоит корабль 2 × 2. За какое наименьшее число выстрелов можно с уверенностью указать его го точное местоположение? («Топить» корабль не нужно.