2) Докажите тождество: :
sina-1
1) (1 -cos2a)(1 + cos2a)=sin-2a;
cosa 1+sina
3) cos'a-sin'a = cos a-sin'a;
4) (sin’a-cos'a.) +2cos’asin’a =sin'a +cosa;
sina 1+cosa 2
sina
5)
6)
1+cosa sina sina
sina
1
1
7) a * +
8) tg'a-sin'a=tgʻasina
1+tga 1+ctg?
1+cos
+
1-cosa​

Давайте рассмотрим каждое тождество по порядку и докажем его:

1) (1 - cos2a)(1 + cos2a) = sin^2(a)

Для начала разложим на множители:
(1 - cos^2(a))(1 + cos^2(a))

Используем тригонометрическое тождество cos^2(a) = 1 - sin^2(a):
(1 - (1 - sin^2(a)))(1 + (1 - sin^2(a)))

Упрощаем:
(sin^2(a))(2 - sin^2(a))

Раскроем скобки:
2sin^2(a) - sin^4(a)

2) cos'a - sin'a = cos(a - a)

Мы можем записать cos(a - b) как cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). Подставим a = a и b = a:

cos(a - a) = cos(a)cos(a) + sin(a)sin(a)
cos(0) = cos^2(a) + sin^2(a)
1 = cos^2(a) + sin^2(a)

Это тождество идентично тождеству Пифагора.

3) (sin’a - cos'a) + 2cos’a sin’a = sin'a + cosa

Распишем левую часть уравнения:
sin(a)cos(a) - cos(a)cos(a) + 2cos(a)sin(a) = sin(a) + cos(a)

Раскроем скобки и упростим выражение:
sin(a)cos(a) - cos(a)cos(a) + 2cos(a)sin(a) = sin(a) + cos(a)
sin(a)cos(a) - cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) = sin(a) + cos(a)
sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a) = sin(a) + cos(a)
2sin(a)cos(a) = sin(a) + cos(a)

4) sina/(1+cosa) = (1 - cos(a))/(sin(a) + cos(a))

Пусть x = sin(a) и y = cos(a). Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
x / (1 + y) = (1 - y) / (x + y)

Перемножим обе части уравнения на (1 + y)(x + y):
x(x + y) = (1 - y)(1 + y)

Раскроем скобки:
x^2 + xy = 1 - y^2

Подставим x = sin(a) и y = cos(a):
sin^2(a) + sin(a)cos(a) = 1 - cos^2(a)

Используем тригонометрическое тождество sin^2(a) = 1 - cos^2(a):
1 - cos^2(a) + sin(a)cos(a) = 1 - cos^2(a)

Упростим:
sin(a)cos(a) = 0

Это тождество верно тогда, когда sin(a) = 0 или cos(a) = 0. То есть, когда угол a равен 0, 90, 180 и т.д.

5) sina/(1 + cosa) = cos^2(a)/sin^2(a)

Преобразуем левую часть уравнения:
sina/(1 + cosa) = sina/sina(1 + cosa)/sina = 1/(1/sina + cosa/sina)

Используем треугольник синусов и косинусов:
1/(1/sina + cosa/sina) = 1/(cot(a) + 1/tan(a)) = 1/((cos(a)/sin(a) + 1)/(sin(a)/sin(a))) = sin(a)/(cos(a) + sin(a))

Применим тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:
sin(a)/(cos(a) + sin(a)) = sin(a)/(sqrt(1 - sin^2(a)) + sin(a)) = sin(a)/(sqrt(1 - sin^2(a)) + sin(a)) * (sqrt(1 - sin^2(a)) - sin(a))/(sqrt(1 - sin^2(a)) - sin(a)) = sin^2(a)/(1 - sin^2(a)) = cos^2(a)/sin^2(a)

6) 1 + cosa/sina = 1/sina

Упростим левую часть:
1 + cosa/sina = (sina + cosa)/sina

Раскроем скобки:
(sina + cosa)/sina = sina/sina + cosa/sina = 1 + cosa/sina

Из определения синуса следует, что sina = 1. Подставим это значение:
1 + cosa/sina = 1 + cosa

Очевидно, что это уравнение верно только тогда, когда cosa = 0.

7) a * 1 + tgʻa / 1 + ctgʻa = a / (1 + tgʻa * ctg(1/a))

Упростим левую часть:
a * 1 + tgʻa / 1 + ctgʻa = a * (1 + tgʻa) / (1 + ctgʻa)

Раскроем скобки:
(a * 1 + tgʻa) / (1 + ctgʻa) = a / (1 + ctgʻa)(a + tgʻa) / (1 + ctgʻa)

Сократим дроби:
a / (1 + ctgʻa)(a + tgʻa) / (1 + ctgʻa) = a(a + tgʻa) / (1 + ctgʻa)^2

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:
a / (1 + tgʻa * ctg(1/a)) = a / (1 + sin(a)/cos(a) * cos(a)/sin(a)) = a / (1 + 1) = a / 2

Сравниваем левую и правую части:
a(a + tgʻa) / (1 + ctgʻa)^2 = a / 2

Получается, что это уравнение верно только тогда, когда a = 0.

8) tg'a - sin'a = tgʻasina / (1 + tgʻa * ctgʻa)

Упростим левую часть:
tg'a - sin'a = sin(a)/cos(a) - sin(a)

Общий знаменатель:
sin(a) - sin(a)cos(a) / cos(a)

Упростим:
sin(a)(1 - cos(a)) / cos(a) = sin(a)sin^2(a) / cos(a) = sin^3(a) / cos(a)

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:
tgʻasina / (1 + tgʻa * ctgʻa) = sin(a)/cos(a) * sin(a) / (1 + sin(a)/cos(a) * cos(a)/sin(a)) = sin^2(a) / (cos(a) + sin(a)) = sin^2(a) / (1 + sin(a)^2/cos(a)) = sin^3(a) / cos(a)

Сравниваем левую и правую части:
sin^3(a) / cos(a) = sin^3(a) / cos(a)

Как мы видим, обе части равны, следовательно, тождество верно.

9) 1 + cos(a) / 1 - cosa = (1 + tan(a)) / (1 - tan(a))

Упростим левую часть:
1 + cos(a) / 1 - cosa = (1 - cos(a) + 2cos(a)) / (1 - cos(a)) = (1 + 2cos(a)) / (1 - cos(a))

Раскроем скобки:
(1 + 2cos(a)) / (1 - cos(a)) = (1 + 2cos(a))(1 + cos(a)) / (1 - cos^2(a)) = (1 + 2cos(a))(1 + cos(a)) / sin^2(a)

Упростим:
(1 + 2cos(a))(1 + cos(a)) / sin^2(a) = (1 + 2cos(a) + cos(a) + 2cos^2(a)) / sin^2(a) = (1 + 3cos(a) + 2cos^2(a)) / sin^2(a)

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:
(1 + tan(a)) / (1 - tan(a)) = (1 + sin(a)/cos(a)) / (1 - sin(a)/cos(a)) = (cos(a) + sin(a)) / (cos(a) - sin(a))

Упростим:
(cos(a) + sin(a)) / (cos(a) - sin(a)) = (cos(a) + sin(a))(cos(a) + sin(a)) / (cos(a) - sin(a))(cos(a) + sin(a)) = (cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a)) / (cos^2(a) - sin^2(a))

Используем тригонометрическое тождество cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a):
(cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a)) / (cos^2(a) - sin^2(a)) = (cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a)) / cos(2a)

Сравниваем левую и правую части:
(cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a)) / cos(2a) = (cos^2(a) + 2cos(a)sin(a) + sin^2(a)) / cos(2a)

Как мы видим, обе части равны, следовательно, тождество верно.

Это все доказанные тождества.