Докажите, что ABCD — прямоугольник, если. А(4; –2; 2),
В(6; 1; –4), С(0; –1; –7), D(–2; –4; –1).

Для того чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, необходимо убедиться, что его стороны взаимно перпендикулярны.

Пусть векторы AB, AC и AD обозначают стороны прямоугольника.

Вектор AB:
AB = B - A = (6 - 4, 1 - (-2), -4 - 2) = (2, 3, -6).

Вектор AC:
AC = C - A = (0 - 4, -1 - (-2), -7 - 2) = (-4, 1, -9).

Вектор AD:
AD = D - A = (-2 - 4, -4 - (-2), -1 - 2) = (-6, -2, -3).

Теперь нужно проверить, являются ли векторы AB, AC и AD взаимно перпендикулярными. Для этого можно найти скалярное произведение между этими векторами. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

AB • AC = (2 * -4) + (3 * 1) + (-6 * -9) = -8 + 3 + 54 = 49.

AB • AD = (2 * -6) + (3 * -2) + (-6 * -3) = -12 - 6 + 18 = 0.

AC • AD = (-4 * -6) + (1 * -2) + (-9 * -3) = 24 - 2 + 27 = 49.

Из полученных результатов видно, что AB • AD = 0 и AC • AD = 49, что означает, что векторы AC и AD не перпендикулярны друг другу.

Поскольку не все стороны прямоугольника ABCD взаимно перпендикулярны, мы не можем утверждать, что ABCD - прямоугольник.