Задача 9. Доказать, что (при любом > 1) 1 + 2 + 3 + . . . + = ( + 1) 2 . 

​

Общий  случай:

В квадрате из 10 плиток должно быть 100  плиток.     Следовательно,  количество плиток меньше 100.

Разница  6 плиток возникает после  6 ряда.
Объяснение: 
         Ряды по "9".                                       Ряды по "8"
9 плиток - полный ряд по "9"              1 ряд по "8"  +1 во втором ряду.
18 плиток - 2 полных ряда по "9"        2 ряд по  "8" +2 в третьем ряду.
 и  так далее ... .
В  неполном ряду  по "8"   должно  быть   7 плиток.

В  неполном ряду по "9"  должна  быть   1 плитка.     Тогда выполняется условие  7-1=6 плиток.

Это  происходит  в  7  ряду:
8*6=48+7= 55  плиток  ˂100
9*6=54+1= 55  плиток  ˂100
ответ:  осталось  55  плиток. 

Частный  случай:       
Пишем  уравнение  для   рядов с   8  плитками   (8*а +7),  где  а - количество полных  рядов,   7 - это плитки в последнем ряду.
        Пишем  уравнение  для   рядов с   9  плитками   (9*а +1),  где  а - количество полных  рядов,   1  - это плитка в последнем ряду.
Плиток одинаковое число в  обоих  случаях, 
8*а +7 = 9*а +1 ,  решаем равенство
а = 6   -  подставляем  в  уравнения  для  рядов  и  находим количество плиток.
8*а +7 = 8*6+7 = 55   плиток
9*а +1 = 9*6 +1 = 55  плиток
ответ:  после строительства дома осталось 55  плиток.

y-денег у Кати                                                                                                  x-стоимость одного значка                                                                              6x=y+15                                                                                                           4x=y-5                                                                                                              из первого уравнения y=6x-15                                                                          подставляем во второе и получаем x=10.а y=45.                                              ответ:45рублей.