На рисунке прямоугольник разбит прямыми линиями, которые параллельны его сторонам. Найдите сумму тип, если площади некоторых полученных
прямоугольников отмечены на рисунке.

ответ: Нет.
Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.
Пусть искомый многочлен f(x) существует.
Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).
Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.
Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).
То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.

Общие понятия
Число корней в уравнении равно максимальной степени многочлена.
Это значит, что у квадратного уравнения - a*x² + b*x+c - два корня при D>0 и, как вариант - один при D =0 - сдвоенный или даже два мнимых при D<0.
ОТВЕТ
У квадратного трехчлена - два корня (D>0)
f(x) = x² - 1 = (x-1)(x+1) - два корня - х1 = - 1, х2 = 1
У многочлена четвертой степени -  не больше четырех
У =f(f (x)) = (x²-1)² - 1 
x1 = - √2, x2 = √2  и ДВА корня но в одном  - х3 = 0.
У многочлена  восьмой степени - не больше восьми.