Найти указанный предел, используя второй замечательный предел

Чтобы найти указанный предел, используем второй замечательный предел.

Второй замечательный предел гласит:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} = 1 \]

В нашем случае, чтобы применить этот предел, преобразуем выражение, чтобы оно соответствовало форме второго замечательного предела.

Посмотрим на данный предел и заметим, что какое-то число умножается на \(\frac{1}{x}\):

\[ \lim_{{x \to 0}} 2x \cdot \frac{{\sin(5x)}}{{5x}} \]

Мы знаем, что \(\frac{{\sin(5x)}}{{5x}}\) - это искомая функция, которую нужно заменить на \(1\). Значит, можем записать предел в следующей форме:

\[ \lim_{{x \to 0}} 2x \cdot 1 \]

А так как умножение на \(1\) не меняет значения, то можно записать:

\[ \lim_{{x \to 0}} 2x \]

Теперь, чтобы вычислить предел, просто подставим \(0\) вместо \(x\):

\[ 2 \cdot 0 = 0 \]

Ответ: указанный предел равен \(0\).