Основание пирамиды – треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите высоту пирамиды.

Если считать пирамиду правильной, то её вершина проецируется на основание в точку пересечения медиан O, которая делит их в отношении 2:1 считая от вершины.
Медиана (она же и высота) равна m =a*cos 30 = 3*(√3/2) = 3√3/2.
Отрезок АО медианы равен (2/3)*3√3/2 = √3.
Тогда высота пирамиды Н = √(10²-(√3)²) = √(100-3) = √97.
Площадь основания So = a²√3/4 = 9√3/4.
Объём пирамиды V = (1/3)So*H = (1/3)*(9√3/4)*√97 = 3√291/4.
Апофема боковой грани равна A = √(10²-(3/2)²) = √391/2.
Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)Р*А = (1/2)*9*√391/2 =
= 9√391/4.
Полная площадь S = So + Sбок = (9√3/4) +  9√391/4 = 9(√3 + √391)/4.

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел и количества этих чисел.

Пример. Среднее арифметическое трех чисел 5, 7 и 9 равно:

                  (5 + 7 + 9) : 3 = 21 : 3 = 7.

Переведем бесконечную периодическую дробь 9,(2) в обыкновенную:

9,(2) = 9 + 0,(2),

0,(2) = 0,222222... = 0,2 + 0,02 + 0,002 + ... - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 0,2, второй - 0,02, знаменатель равен 0,1:

                b₁ = 0,2, b₂ = 0,02, q = b₂ / b₁ = 0,02 / 0,2 = 2 / 20 = 0,1.

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находят по формуле S = b₁ / (1 - q).

Значит, 0,(2) = 0,2 / (1 - 0,1) = 0,2 / 0,9 = 2/9, т.е. 9,(2) = 9 целых 2/9.

Тогда среднее арифметическое чисел 9,(2) и 2 целых 1/3 равно:

(9 целых 2/9 + 2 целых 1/3) : 2 = (9 целых 2/9 + 2 целых 3/9) : 2 =

= 11 целых 5/9 : 2 = 104/9 : 2/1 = 104/9 · 1/2 = 52/9 = 5 целых 7/9.

ответ: 5 целых 7/9.