Докажите, что корень из 29 является иррациональным.

Решение
у=2+х^2  - парабола  (1)
y=4+x   - прямая       (2)
определим пределы интегрирования, для чего найдем точки пересечения графиков приравняем   (1)  и (2)
2+х^2  =4+x
x^2 - x - 2 =0
D =(-1)^2 - 4*1*(-2) = 9
√D =  -/+ 3 x = 1/2 ( -(-1)  -/+ 3 )
x1 = -1 ; x2 = 2
пределы интегрирования [-1;2]
площадь фигуры S = [-1;2]∫ (4+x) - (2+х^2) = [-1;2]∫ (4+x) - [-1;2]∫ (2+x^2)  
                              = (4x+x^2/2) |[-1;2] - (2x+x^3/3) |[-1;2] =                                 
                              = (4*2 + 2^2/2 - (4*(-1)+(-1)^2/2)) - (2*2+2^3/3 - (2*(-1) + (-1)^3/3)) =                               = 13,5 - 9 = 4,5
ответ S =4,5

Решение
у=2+х^2  - парабола  (1)
y=4+x   - прямая       (2)
определим пределы интегрирования, для чего найдем точки пересечения графиков приравняем   (1)  и (2)
2+х^2  =4+x
x^2 - x - 2 =0
D =(-1)^2 - 4*1*(-2) = 9
√D =  -/+ 3 x = 1/2 ( -(-1)  -/+ 3 )
x1 = -1 ; x2 = 2
пределы интегрирования [-1;2]
площадь фигуры S = [-1;2]∫ (4+x) - (2+х^2) = [-1;2]∫ (4+x) - [-1;2]∫ (2+x^2)  
                              = (4x+x^2/2) |[-1;2] - (2x+x^3/3) |[-1;2] =                                 
                              = (4*2 + 2^2/2 - (4*(-1)+(-1)^2/2)) - (2*2+2^3/3 - (2*(-1) + (-1)^3/3)) =                               = 13,5 - 9 = 4,5
ответ S =4,5