Доказать тождественную истинность формул: (эквивалентно => )

Далее в тексте будем подразумевать под биквадратным трёхчленом и его коэффициентами выражение где под подразумевается квадрат переменной т.е. а его корнями – квадраты искомых корней, если они различны, или его чётным корнем если корень биквадратного трёхчлена – единственный.

Наше уравнение вообще имеет решения только тогда, когда дискриминант биквадратного трёхчлена неотрицателен, при этом, в силу чётности биквадратного уравнения, удобно находить чётный дискриминант через половину среднего коэффициента и без множителей в последнем слагаемом, т.е. по формуле тогда Потребуем, чтобы откуда следует, что

Уравнение не может стать просто квадратным, оно всегда будет иметь старшей степенью 4, поскольку старший коэффициент фиксирован и равен единице. Но биквадратное уравнение может выродится, когда его дискриминант равен нолю, что происходит при а корень биквадратного трёхчлена станет чётным давая два искомых корня Это значение как раз уже и есть одно из искомых решений для параметра

Когда дискриминант больше нуля и биквадратное уравнение не вырождено, то квадратов искомых корней всегда будет два – левый и правый (меньший и больший), однако при некоторых обстоятельствах левый квадрат искомых корней будет отрицательным, а значит, не будет давать пару искомых корней. Среднеарифметическое квадратов искомых корней по теореме Виета, в применении к биквадратному уравнению, будет равно числу, противоположному половине среднего коэффициента, т.е. оно равно Отсюда следует, что правый квадрат искомых корней – всегда положителен, а значит, всегда даёт два корня при положительном дискриминанте.

Левый же квадрат искомых корней отрицателен тогда и только тогда, когда этот левый квадрат лежит левее оси ординат, т.е. левее точки А значит, значение всего трёхчлена взятое от должно давать отрицательное значение, т.е. располагается в нижней межкорневой дуге параболы биквадратного трёхчлена.

Отсюда: ;

;

;

О т в е т :

А)4500*12*2-12*4500-4500*12+5=4500*12(2-1-1)+5=4500*0+5=0+5=5
б)4750:19*84-19*13*84-242=250*84-247*84-242=21000-20748-242=10

в)(723600 : 90 - 40 *201) * (1234 * 4321 - 1999) +5 = 5
1) 723600 :90= 8040
2) 40*201=8040
3) 8040-8040 = 0
4) 1234*4321 = 5 332 114
5) 5332114 - 1999 = 5330115
6) 0 * 5330115 = 0
7) 0+5 = 0
В принципе 4 и 5 действия лишние, т.к. любое число * на ноль = 0

г)1998 * 1999 - 1998² -1993 = 1998 *(1998 + 1) -1998² - 1993 = 1998² + 1998 -1998² - 1993 = 5
1)1998² - 1998² = 0
2) 1998 - 1993 =5
⊆