{
Вероятностью (вероятностной мерой) называется мера (числовая функция) {\displaystyle \mathbf {P} }\mathbf {P} , заданная на множестве событий, обладающая следующими свойствами:
Неотрицательность: {\displaystyle \forall A\subset X\colon \mathbf {P} (A)\geqslant 0}\forall A\subset X\colon {\mathbf P}(A)\geqslant 0,
Аддитивность: вероятность наступления хотя бы одного (то есть суммы) из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий; другими словами, если {\displaystyle A_{i}A_{j}=\varnothing }A_{i}A_{j}=\varnothing при {\displaystyle i\neq j}i\neq j, то {\displaystyle P\left(\sum _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbf {P} (A_{i})}{\displaystyle P\left(\sum _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbf {P} (A_{i})}.
Конечность (ограниченность единицей): {\displaystyle \mathbf {P} (X)=1}{\mathbf P}(X)=1,
В случае если элементарных событий X конечно, то достаточно указанного условия аддитивности для произвольных двух несовместных событий, из которого будет следовать аддитивность для любого конечного количества несовместных событий. Однако, в случае бесконечного (счётного или несчётного элементарных событий этого условия оказывается недостаточно. Требуется так называемая счётная или сигма-аддитивность, то есть выполнение свойства аддитивности для любого не более чем счётного семейства попарно несовместных событий. Это необходимо для обеспечения «непрерывности» вероятностной меры.
Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества {\displaystyle X}X. Предполагается, что она определена на некоторой сигма-алгебре {\displaystyle \Omega }\Omega подмножеств[6]. Эти подмножества называются измеримыми по данной вероятностной мере и именно они являются случайными событиями. Совокупность {\displaystyle (X,\Omega ,P)}(X,\Omega ,P) — то есть множество элементарных событий, сигма-алгебра его подмножеств и вероятностная мера — называется вероятностным Свойства вероятности
Основные свойства вероятности проще всего определить, исходя из аксиоматического определения вероятности.
1) вероятность невозможного события (пустого множества {\displaystyle \varnothing }\varnothing ) равна нулю:
{\displaystyle \mathbf {P} \{\varnothing \}=0;}{\mathbf {P}}\{\varnothing \}=0;
Это следует из того, что каждое событие можно представить как сумму этого события и невозможного события, что в силу аддитивности и конечности вероятностной меры означает, что вероятность невозможного события должна быть равна нулю.
2) если событие A включается («входит») в событие B, то есть {\displaystyle A\subset B}A\subset B, то есть наступление события A влечёт также наступление события B, то:
{\displaystyle \mathbf {P} \{A\}\leqslant \mathbf {P} \{B\};}{\mathbf {P}}\{A\}\leqslant {\mathbf {P}}\{B\};
Это следует из неотрицательности и аддитивности вероятностной меры, так как событие {\displaystyle B}B, возможно, «содержит» кроме события {\displaystyle A}A ещё какие-то другие события, несовместные с {\displaystyle A}A.
3) вероятность каждого события {\displaystyle A}A находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам:
{\displaystyle 0\leqslant \mathbf {P} \{A\}\leqslant 1;}0\leqslant {\mathbf {P}}\{A\}\leqslant 1;
Первая часть неравенства (неотрицательность) утверждается аксиоматически, а вторая следует из предыдущего свойства с учётом того, что любое событие «входит» в {\displaystyle X}X, а для {\displaystyle X}X аксиоматически предполагается {\displaystyle \mathbf {P} \{X\}=1}{\mathbf {P}}\{X\}=1.
4) вероятность наступления события {\displaystyle B\setminus A}B\setminus A, где {\displaystyle A\subset B}A\subset B, заключающегося в наступлении события {\displaystyle B}B при одновременном ненаступлении события {\displaystyle A}A, равна:
{\displaystyle \mathbf {P} \{B\setminus A\}=\mathbf {P} \{B\}-\mathbf {P} \{A\};}{\mathbf {P}}\{B\setminus A\}={\mathbf {P}}\{B\}-{\mathbf {P}}\{A\};
Это следует из аддитивности вероятности для несовместных событий и из того, что события {\displaystyle A}A и {\displaystyle B\setminus A}B\setminus A являются несовместными по условию, а их сумма равна событию {\displaystyle B}B.
5) вероятность события {\displaystyle {\bar {A}}}{\bar {A}}, противоположного событию {\displaystyle A}A, равна:
{\displaystyle \mathbf {P} \{{\bar {A}}\}=1-\mathbf {P} \{A\};}{\mathbf {P}}\{{\bar {A}}\}=1-{\mathbf {P}}\{A\};
Это следует из предыдущего свойства, если в качестве множества {\displaystyle B}B использовать всё и учесть, что {\displaystyle \mathbf {P} \{X\}=1}{\mathbf {P}}\{X\}=1.
6) (теорема сложения вероятностей) вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий {\displaystyle A}A и {\displaystyle B}B равна:
{
Издавна на Руси было развито деревянное зодчество-искусство постройки различных зданий. Из дерева строились крестьянские избы, княжеские и боярские терема, городские крепости. Русское деревянное зодчество имело свои традиции. Для него была характерна многоярусность строений, увенчание их башенками и теремами, наличие разного рода пристроек-клетей, переходов, сеней. Художественная резьба по дереву украшала деревянные строения. Каменное строительство началось на Руси в конце Х века после принятия христианства. Первым каменно-кирпичным храмом стала церковь Богородицы в Киеве в 989. Все основные постройки на Руси ставились плотниками, т.к. они были деревянными, поэтому первые христианские храмы на Руси возводились византийскими зодчими. В западной части храма располагалось предхрамие, церковные сени. Во время богослужения здесь было положено находиться кающимся и оглашенным (кого готовили к принятию крещения и обучали (гласом) основам веры). Древнейшим, хорошо сохранившимся памятником древнерусской архитектуры является Киевский Софийский собор. В Киеве возводятся Золотые Ворота, церковь Богородицы, Юрьев монастырь.
Весь русский Север можно назвать музеем - заповедником под открытым небом. Ярким примером деревянного зодчества является Кижский погост на Онежском озере, Витославлицы в устье Волхова на Ильмень-озере, Суздаль.
Самая старинная постройка Кижей – Лазоревская церковь – 16 век. В ансамбль Кижи входит знаменитая 22-х главая Преображенская церковь. Купола этих церквей выполнены в технике лемеха, как рыбья чешуя. Все здания построены народными мастерами- плотниками из сосны, без гвоздей. София новгородская – 1045 году 5 купольная. Успенский собор Владимира 5 купольный, 1185 год, Дмитриевский собор во Владимире украшенный каменной резьбой (1200 изображения). Церковь Покрова на Нерли построена в 1165 году князем Андреем Боголюбским, является символом гармонии в архитектуре. Вся архитектура до 18 века была храмовая. В основе лежит крестово-купольная
