1. Найти целые числа x и y такие, что x + y - четное и log2(x/5+y/8)=log2 x/5 + log2 y/8

2. При каких целых n функция f(x)=cos((n-1)x) умножить на cos 15x/2n+1 имеет период Т = п

3. Доказать что существует набор натуральных чисел, для которых a1,a2,,a2022 5*HOK(a1,a2,,a2022)=4*(a1+a2++a2022)

4. Аня и Боря задают друг другу по три каверзных во и отвечают на них, не задумываясь и случайным образом. Вероятность того, что на заданный Борей во Аня скажет неправду не зависит от номера во и равна 1/4. Боря на во Ани дает правдивый ответ с вероятностью 2/5 независимо от порядка во После окончания диалога выяснилось, что Боря дал на один правдивый ответ больше, чем Аня. С какой вероятностью это могло произойти?

5. Арифметическая прогрессия {an} с ненулевой разностью такова, что последовательность bn=an*ctgan также арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Найти возможные значения первого члена и разности прогрессии {an} , если для вснх n справедливо равенство cos an+cos3an+1=0 (везде н маленькая под буквой)

6. На сторонах AB И AC остроугольного треугольника ABC во вне построены два равных прямоугольника AMNB И APQC. Найти расстояние между вершинами N и Q ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, если длины сторон AB И AC равны 5 и 11 в корне соответственно, а угол на вершине А треугольника равен arccos 1/3.

11 класс

сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1

1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2

Доказательство методом математической индукции

База индукции

n=2. 1+3=2^2

Гипотеза индукции

Пусть для n=k утверждение выполняется, т.е. выполняется

1+3+5+7+...+(2k-1)=k^2

Индукционный переход. Докажем, что тогда выполняется утверждение и для n=k+1, т.е, что выполняется

1+3+5+7+...+(2k-1)+(2K+1)=(k+1)^2

1+3+5+7+...+(2k-1)+(2K+1)=используем гипотезу МИ=k^2+(2k+1)=k^2+2k+1=используем формлу квадрату двучлена=(k+1)^2, что и требовалось доказать.

По методому математической индукции формула справедлива.

Число n^2 при n>1 zвляется составным, оно делится на 1,n,n^2.

А значит сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n>1 является составным числом. Доказано

Легкая атлетика совокопность видов спорта,включающая бег,ходьбу,прыжки и метание.Основой легкой атлетики являются естественные дви­жения человека. Занятия легкой атлетикой ствуют всестороннему физическому раз­витию, укреплению здоровья людей. Популярность и массовость легкой атлетики объяс­няются общедоступностью и большим разнообразием легкоатлетических упражнений, простотой техники выполнения, возмож­ностью варьировать нагрузку и проводить занятия в любое время года не только на спортивных площадках, но и в естественных условиях.Легкая атлетика очень полезный для здоровья вид спорта.