доказательство ниже
Пошаговое объяснение:
Можно разбить все целые числа на серии чисел по остатку от деления на 3. То есть на группы 3k, 3k+1 и 3k+2. Подставим каждую группу вместо n в исходное выражение.
1) 2*(3k)^3 + 7*(3k) + 3 = 3*(18k^3 + 7k + 1) - кратно 3.
2) 2*(3k+1)^3 + 7*(3k+1) + 3 = 2*(27k^3 + 27k^2 + 9k + 1) + 21k + 7 + 3 = 54k^3 + 54k^2 + 39k + 12 = 3*(18k^3 + 18k^2 + 13k + 4) - кратно 3.
3) 2*(3k+2)^3 + 7*(3k+2) + 3 = 2*(27k^3 + 54k^2 + 36k + 8) + 21k + 14 + 3 = 54k^3 + 108k^2 + 93k + 33 = 3*(18k^3 + 36k^2 + 31k + 11) - кратно 3.
Поскольку для каждой из серий выполняется делимость на 3, то можно заключить, что для всех целых n выражение 2n^3 + 7n + 3 кратно 3.
Решение. Пусть Н — основание высоты пирамиды (рисунок 2). Тогда точка
Н совпадает с центром основания ABCD, a поэтому НА=НВ=НС=HD=
1 AC 2 Тем самым точка Н совпадает с центром окружности,
описанной около основания ABCD. Рассмотрим плоскость AS С и
найдем на высоте SH точку О такую, что OS=ОА (рисунок 3). Так как
SH AC , AH 2 , и AS=3, то SH 32 (
2)2 7 . Обозначим
SO=R. Тогда OH 7 R и
AO2 AH 2 OH 2 2 (
7 R)2 9 2
7R R2 . Из условия АО=R
составляем уравнение: 9 2
7R R2 R2 . Отсюда R
Рассматривая треугольники АНО, ВНО, СНО, DHO, получаем, что они
прямоугольные и равны, так как имеют соответственно равные катеты.
Отсюда АО=ВО=СО=DO=SO. Поэтому сфера с центром О и радиусом
9
7 .содержит все вершины пирамиды.
14
ответ: R
9
7 .
14
