Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.
5. Промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.
6. Выпуклость, вогнутость.
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты.
Пример исследования функции и построения графика №1
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Приведем пример, как найти производную второго порядка от функции x*sin(x):
В вышеуказанном калькуляторе вводим x*sin(x) - этим самым мы вычисляем производную первого порядка (должно получиться x*cos(x) + sin(x), копируем найденное )
Теперь выполняем аналогичные операции в калькуляторе, но с найденной первой производной, а именно вводим функцию (вставляем из копированного) x*cos(x) + sin(x)
Получаем ответ (но это только наш пример!): 2*cos(x) - x*sin(x)
Чтобы найти производную третьего порядка (тоже самое что и третья производная функции), то надо проделать первые два пункта выше, в третьем же пункте опять подставить в калькулятор.
Для нашего примера, надо подставить 2*cos(x) - x*sin(x) и получим ответ для третьей производной (опять же это наш пример): -3.0*sin(x) - x*cos(x)
Пошаговое объяснение:Прочитать внимательно
