Решите неравенство методом интервала

а) x^4 ≤ 81

б) x^5 > 32

в) 16x^4 > 1​

a) Решение неравенства методом интервала:

Начнем с того, что приведем неравенство к каноническому виду:

x^4 ≤ 81

Перенесем все слагаемые влево:

x^4 - 81 ≤ 0

Факторизуем это уравнение:

(x^2 - 9)(x^2 + 9) ≤ 0

Обратим внимание, что (x^2 - 9) = (x + 3)(x - 3). Теперь распишем неравенство:

(x + 3)(x - 3)(x^2 + 9) ≤ 0

Теперь составляем таблицу знаков для каждого множителя:

-∞ -3 3 +∞
(x + 3) | - | + | +
(x - 3) | - | - | +
(x^2 + 9)| + | + | +

Теперь объединим все значения в таблице и найдем интервалы, где неравенство выполняется:

(x + 3)(x - 3)(x^2 + 9) ≤ 0

Исходя из таблицы знаков, получим:

x ∈ (-∞, -3] ∪ [3, +∞)

Ответ: множество решений - диапазон значений от минус бесконечности до минус трех, включительно, и от трех до плюс бесконечности.

b) Решение неравенства методом интервала:

x^5 > 32

Аналогично предыдущему примеру, приведем неравенство к каноническому виду:

x^5 - 32 > 0

Факторизуем это неравенство:

(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) > 0

Обратим внимание, что второе слагаемое является квадратным трехчленом, который всегда положительный. Теперь составим таблицу знаков для каждого множителя:

-∞ 2 +∞
(x - 2) | - | +
(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)| +| +

Теперь объединим все значения из таблицы и найдем интервалы, где неравенство выполняется:

(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) > 0

Исходя из таблицы знаков, получим:

x ∈ (-∞, 2)

Ответ: множество решений - диапазон значений от минус бесконечности до двух, не включительно.

в) Решение неравенства методом интервала:

16x^4 > 1

Приведем это неравенство к каноническому виду:

16x^4 -1 > 0

Факторизуем это уравнение:

(4x^2 - 1)(4x^2 + 1) > 0

Теперь составим таблицу знаков для каждого множителя:

-∞ -1/2 1/2 +∞
(4x^2 - 1) | - | 0 | +
(4x^2 + 1) | + | + | +

Теперь объединим все значения в таблице и найдем интервалы, где неравенство выполняется:

(4x^2 - 1)(4x^2 + 1) > 0

Исходя из таблицы знаков, получаем:

x ∈ (-1/2, 1/2)

Ответ: множество решений - диапазон значений от минус одной второй до плюс одной второй, не включительно.

Каждый пример содержит пошаговое решение с подробными пояснениями и объяснением таблицы знаков. Это должно помочь школьнику лучше понять процесс решения неравенств методом интервала.